Carlemans rovnice - Carlemans equation - Wikipedia

v matematika, Carlemanova rovnice je Fredholmova integrální rovnice prvního druhu s a logaritmické jádro. Jeho řešení bylo nejprve dáno Torsten Carleman v roce 1922. Rovnice je

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} ln | x-t | , y (t) , dt = f (x)}$

Řešení pro b − A Is 4 je

${ displaystyle y (x) = { frac {1} { pi ^ {2} { sqrt {(xa) (bx)}}}} left [ int _ {a} ^ {b} { frac {{ sqrt {(ta) (bt)}} f '_ {t} (t) , dt} {tx}} + { frac {1} { ln left [{ frac {1} {4}} (ba) right]}} int _ {a} ^ {b} { frac {f (t) , dt} { sqrt {(ta) (bt)}}} right] }$

Li b − A = 4, pak je rovnice řešitelná, pouze pokud je splněna následující podmínka

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} { frac {f (t) , dt} { sqrt {(t-a) (b-t)}}} = 0}$

V tomto případě má řešení formu

${ displaystyle y (x) = { frac {1} { pi ^ {2} { sqrt {(xa) (bx)}}}} left [ int _ {a} ^ {b} { frac {{ sqrt {(ta) (bt)}} f '_ {t} (t) , dt} {tx}} + C vpravo]}$

kde C je libovolná konstanta.

Pro zvláštní případ F(t) = 1 (v takovém případě je nutné mít b − A ≠ 4), užitečné v některých aplikacích, máme

${ displaystyle y (x) = { frac {1} { pi ln left [{ frac {1} {4}} (ba) right]}} { frac {1} { sqrt { (xa) (bx)}}}}$

Reference

• CARLEMAN, T. (1922) Uber die Abelsche Integralgleichung mit konstanten Integrationsgrenzen. Matematika. Z., 15, 111–120
• Gakhov, F. D., Boundary Value Problems [v ruštině], Nauka, Moskva, 1977
• A.D. Polyanin a A.V. Manžirov, Příručka integrálních rovnic, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN  0-8493-2876-4