Nerovnost mezi Brezisem a Gallouetem - Brezis–Gallouet inequality

v matematická analýza, Nerovnost mezi Brezisem a Gallouëtem,^[1] pojmenoval podle Haïm Brezis a Thierry Gallouët, je nerovnost platná ve 2 prostorových dimenzích. Ukazuje, že funkce dvou proměnných, která je dostatečně plynulá, je (v podstatě) omezená a poskytuje explicitní vazbu, která závisí pouze logaritmicky na druhých derivátech. To je užitečné při studiu parciální diferenciální rovnice.

Nechat ${ displaystyle Omega podmnožina mathbb {R} ^ {2}}$ být exteriér nebo interiér ohraničené domény s pravidelnou hranicí, nebo ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ sám. Potom nerovnost mezi Brezisem a Gallouëtem uvádí, že existuje realita ${ displaystyle C}$ jen v závislosti na ${ displaystyle Omega}$ takové, že pro všechny ${ displaystyle u in H ^ {2} ( Omega)}$ což není a.e. rovno 0,

{ displaystyle displaystyle | u | _ {L ^ { infty} ( Omega)} leq C | u | _ {H ^ {1} ( Omega)} vlevo (1 + { Bigl (} log { bigl (} 1 + { frac { | u | _ {H ^ {2} ( Omega)}} { | u | _ {H ^ {1} ( Omega )}}} { bigr)} { Bigr)} ^ {1/2} vpravo).}

Důkaz —

Hypotéza pravidelnosti zapnuta ${ displaystyle Omega}$ je definován tak, že existuje operátor rozšíření ${ displaystyle P ~: ~ H ^ {2} ( Omega) až H ^ {2} ( mathbb {R} ^ {2})}$ takové, že:

${ displaystyle P}$ je omezený operátor z ${ displaystyle H ^ {1} ( Omega)}$ na ${ displaystyle H ^ {1} ( mathbb {R} ^ {2})}$ ;

${ displaystyle P}$ je omezený operátor z ${ displaystyle H ^ {2} ( Omega)}$ na ${ displaystyle H ^ {2} ( mathbb {R} ^ {2})}$ ;

omezení na ${ displaystyle Omega}$ z ${ displaystyle Pu}$ je rovný ${ displaystyle u}$ pro všechny ${ displaystyle u v H ^ {2} ( Omega)}$ .

Nechat ${ displaystyle u in H ^ {2} ( Omega)}$ být takový, že ${ displaystyle | u | _ {H ^ {1} ( Omega)} = 1}$ . Poté, označující ${ displaystyle { widehat {v}}}$ funkce získaná z ${ displaystyle v = Pu}$ Fourierovou transformací získáme existenci ${ displaystyle C> 0}$ jen v závislosti na ${ displaystyle Omega}$ takové, že:

${ displaystyle | (1+ | xi |) { widehat {v}} | _ {L ^ {2} ( mathbb {R} ^ {2})} leq C}$ ,

${ displaystyle | (1+ | xi | ^ {2}) { widehat {v}} | _ {L ^ {2} ( mathbb {R} ^ {2})} leq C | u | _ {H ^ {2} ( Omega)}}$ ,

${ displaystyle | u | _ {L ^ { infty} ( Omega)} leq | v | _ {L ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {2})} leq C | { widehat {v}} | _ {L ^ {1} ( mathbb {R} ^ {2})}}$ .

Pro všechny ${ displaystyle R> 0}$ , jeden píše:

{ displaystyle { begin {zarovnáno} displaystyle | { widehat {v}} | _ {L ^ {1} ( mathbb {R} ^ {2})} & = int _ {| xi | R} | { widehat {v}} ( xi) | { rm {d}} xi & = int _ {| xi | R} (1+ | xi | ^ {2}) | { widehat {v }} ( xi) | { frac {1} {1+ | xi | ^ {2}}} { rm {d}} xi & leq C left ( int _ {| xi | R} { frac {1} {(1+ | xi | ^ {2} ) ^ {2}}} { rm {d}} xi right) ^ { frac {1} {2}}, end {zarovnáno}}}

kvůli předchozím nerovnostem a Cauchy-Schwarzově nerovnosti. To přináší

{ displaystyle | { widehat {v}} | _ {L ^ {1} ( mathbb {R} ^ {2})} leq C ( log (1 + R)) ^ { frac { 1} {2}} + C { frac { | u | _ {H ^ {2} ( Omega)}} {1 + R}}.}

Nerovnost je poté v případě prokázána ${ displaystyle | u | _ {H ^ {1} ( Omega)} = 1}$ tím, že to necháme ${ displaystyle R = | u | _ {H ^ {2} ( Omega)}}$ . Pro obecný případ ${ displaystyle u v H ^ {2} ( Omega)}$ ne identicky null, stačí použít tuto nerovnost na funkci ${ displaystyle u / | u | _ {H ^ {1} ( Omega)}}$ .

Všimněte si toho, pro každého ${ displaystyle v v H ^ {2} ( mathbb {R} ^ {2})}$ , drží se

{ displaystyle int _ { mathbb {R} ^ {2}} { bigl (} ( částečné _ {11} ^ {2} v) ^ {2} +2 ( částečné _ {12} ^ { 2} v) ^ {2} + ( částečné _ {22} ^ {2} v) ^ {2} { bigr)} = int _ { mathbb {R} ^ {2}} { bigl ( } částečné _ {11} ^ {2} v + částečné _ {22} ^ {2} v { bigr)} ^ {2},}

jeden vyvozuje z nerovnosti Brezis-Gallouet, že existuje ${ displaystyle C> 0}$ jen v závislosti na ${ displaystyle Omega}$ takové, že pro všechny ${ displaystyle u in H ^ {2} ( Omega)}$ což není a.e. rovné 0,

{ displaystyle displaystyle | u | _ {L ^ { infty} ( Omega)} leq C | u | _ {H ^ {1} ( Omega)} vlevo (1 + { Bigl (} log { bigl (} 1 + { frac { | Delta u | _ {L ^ {2} ( Omega)}}} u | _ {H ^ {1} ( Omega)}}} { bigr)} { Bigr)} ^ {1/2} vpravo).}

Předchozí nerovnost je blízká způsobu, jakým je citována nerovnost Brezis-Gallouet.^[2]

Viz také

Reference

^ H. Brezis a T. Gallouet. Nelineární Schrödingerovy evoluční rovnice. Nelineární Anal. 4 (1980), č. 4. 4, 677–681. doi:10.1016 / 0362-546X (80) 90068-1
^ Foias, Ciprian; Manley, O .; Rosa, R .; Temam, R. (2001). Navier-Stokesovy rovnice a turbulence. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-36032-3.

[1] H. Brezis a T. Gallouet. Nelineární Schrödingerovy evoluční rovnice. Nelineární Anal. 4 (1980), č. 4. 4, 677–681. doi:10.1016 / 0362-546X (80) 90068-1

[2] Foias, Ciprian; Manley, O .; Rosa, R .; Temam, R. (2001). Navier-Stokesovy rovnice a turbulence. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-36032-3.

[1]

[2]