Bott – Samelsonovo rozlišení - Bott–Samelson resolution

v algebraická geometrie, Bott – Samelsonovo rozlišení a Odrůda Schubert je rozlišení singularit. To bylo představeno Bott & Samelson (1958) v kontextu kompaktní Lieovy skupiny.^[1] Algebraická formulace je nezávisle způsobena Hansen (1973) a Demazure (1974).

Definice

Nechat G být spojen redukční komplex algebraická skupina, B A Podskupina Borel a T A maximální torus obsaženo v B.

Nechat ${ displaystyle w in W = N_ {G} (T) / T.}$ Jakýkoli takový w lze zapsat jako produkt odrazů jednoduchými kořeny. Opravte minimální takový výraz:

${ displaystyle { underline {w}} = (s_ {i_ {1}}, s_ {i_ {2}}, ldots, s_ {i _ { ell}})}$

aby ${ displaystyle w = s_ {i_ {1}} s_ {i_ {2}} cdots s_ {i _ { ell}}}$. (ℓ je délka z w.) Nechte ${ displaystyle P_ {i_ {j}} podmnožina G}$ být podskupinou generovanou B a zástupce společnosti ${ displaystyle s_ {i_ {j}}}$. Nechat ${ displaystyle Z _ { podtrhnout {w}}}$ být kvocient:

${ displaystyle Z _ { underline {w}} = P_ {i_ {1}} times cdots times P_ {i _ { ell}} / B ^ { ell}}$

s ohledem na akci ${ displaystyle B ^ { ell}}$ podle

${ displaystyle (b_ {1}, ldots, b _ { ell}) cdot (p_ {1}, ldots, p _ { ell}) = (p_ {1} b_ {1} ^ {- 1} , b_ {1} p_ {2} b_ {2} ^ {- 1}, ldots, b _ { ell -1} p _ { ell} b _ { ell} ^ {- 1}).}$

Je to hladký projektivní rozmanitost. Psaní ${ displaystyle X_ {w} = { overline {BwB}} / B = (P_ {i_ {1}} cdots P_ {i _ { ell}}) / B}$ pro odrůdu Schubert pro w, mapa násobení

${ displaystyle pi: Z _ { podtržení {w}} až X_ {w}}$

je rozlišení singularit nazývá se Bott-Samelsonovo rozlišení. ${ displaystyle pi}$ má vlastnost: ${ displaystyle pi _ {*} { mathcal {O}} _ {Z _ { podtržení {w}}} = { mathcal {O}} _ {X_ {w}}}$ a ${ displaystyle R ^ {i} pi _ {*} { mathcal {O}} _ {Z _ { podtržení {w}}} = 0, , i geq 1.}$ Jinými slovy, ${ displaystyle X_ {w}}$ má racionální singularity.^[2]

Existují také některé další konstrukce; viz například Vakil (2006).

Poznámky

Reference

• Bott, Raoul; Samelson, Hans (1958), „Aplikace Morseovy teorie na symetrické prostory“, American Journal of Mathematics, 80: 964–1029, doi:10.2307/2372843, PAN  0105694.
• Brion, Michel (2005), „Přednášky o geometrii odrůd vlajky“, Témata v cohomologických studiích algebraických variet, Trends Math., Birkhäuser, Basilej, str. 33–85, arXiv:matematika / 0410240, doi:10.1007/3-7643-7342-3_2, PAN  2143072.
• Demazure, Michel (1974), „Désingularisation des variétés de Schubert généralisées“, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure (francouzsky), 7: 53–88, PAN  0354697.
• Gorodski, Claudio; Thorbergsson, Gudlaugur (2002), „Cykly typu Bott-Samelson pro napjatá zobrazení“, Annals of Global Analysis and Geometry, 21 (3): 287–302, arXiv:matematika / 0101209, doi:10.1023 / A: 1014911422026, PAN  1896478.
• Hansen, H. C. (1973), „O cyklech ve vlajkových potrubích“, Mathematica Scandinavica, 33: 269–274 (1974), doi:10,7146 / math.scand.a-11489, PAN  0376703.
• Vakil, Ravi (2006), „Geometrické pravidlo Littlewood-Richardson“, Annals of Mathematics, Druhá série, 164 (2): 371–421, arXiv:math.AG/0302294, doi:10.4007 / annals.2006.164.371, PAN  2247964.