Bogacki – Shampinová metoda - Bogacki–Shampine method

The Bogacki – Shampinová metoda je metoda pro numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic, který navrhli Przemysław Bogacki a Lawrence F. Shampine v roce 1989 (Bogacki & Shampine 1989 ). Metoda Bogacki – Shampine je a Metoda Runge – Kutta pořadí tři se čtyřmi fázemi s vlastností First Same As Last (FSAL), takže používá přibližně tři vyhodnocení funkcí na krok. Má vloženou metodu druhého řádu, kterou lze použít k implementaci velikost adaptivního kroku. Metoda Bogacki – Shampine je implementována v ode23 funkce v MATLAB (Shampine & Reichelt 1997 ).

Metody nižšího řádu jsou vhodnější než metody vyššího řádu, jako je Metoda Dormand – Prince řádu pět, pokud je vyžadována pouze hrubá aproximace řešení. Bogacki a Shampine tvrdí, že jejich metoda překonává jiné metody třetího řádu s vloženou metodou řádu dva.

The Řeznické tablo pro metodu Bogacki – Shampine je:

Podle standardní notace je třeba vyřešit diferenciální rovnici ${displaystyle y '= f (t, y)}$. Dále ${displaystyle y_ {n}}$ označuje numerické řešení v čase ${displaystyle t_ {n}}$ a ${displaystyle h_ {n}}$ je velikost kroku, definovaná ${displaystyle h_ {n} = t_ {n + 1} -t_ {n}}$. Poté je jeden krok metody Bogacki – Shampine dán:

${displaystyle {egin {aligned} k_ {1} & = f (t_ {n}, y_ {n}) k_ {2} & = f (t_ {n} + {frac {1} {2}} h_ { n}, y_ {n} + {frac {1} {2}} h_ {n} k_ {1}) k_ {3} & = f (t_ {n} + {frac {3} {4}} h_ {n}, y_ {n} + {frac {3} {4}} h_ {n} k_ {2}) y_ {n + 1} & = y_ {n} + {frac {2} {9}} h_ {n} k_ {1} + {frac {1} {3}} h_ {n} k_ {2} + {frac {4} {9}} h_ {n} k_ {3} k_ {4} & = f (t_ {n} + h_ {n}, y_ {n + 1}) z_ {n + 1} & = y_ {n} + {frac {7} {24}} h_ {n} k_ {1 } + {frac {1} {4}} h_ {n} k_ {2} + {frac {1} {3}} h_ {n} k_ {3} + {frac {1} {8}} h_ {n } k_ {4} .end {zarovnáno}}}$

Tady, ${displaystyle z_ {n + 1}}$ je aproximace druhého řádu k přesnému řešení. Metoda výpočtu ${displaystyle y_ {n + 1}}$ je to kvůli Ralston (1965). Na druhou stranu, ${displaystyle y_ {n + 1}}$ je aproximace třetího řádu, takže rozdíl mezi ${displaystyle y_ {n + 1}}$ a ${displaystyle z_ {n + 1}}$ lze zvyknout přizpůsobit velikost kroku. Vlastnost FSAL - první stejná jako poslední - je hodnota fáze ${displaystyle k_ {4}}$ v jednom kroku se rovná ${displaystyle k_ {1}}$ v dalším kroku; na krok jsou tedy zapotřebí pouze tři vyhodnocení funkcí.

Reference

• Bogacki, Przemysław; Shampine, Lawrence F. (1989), „A 3 (2) pár vzorců Runge – Kutta“, Aplikovaná matematická písmena, 2 (4): 321–325, doi:10.1016/0893-9659(89)90079-7, ISSN  0893-9659.
• Ralston, Anthony (1965), První kurz numerické analýzy, New York: McGraw-Hill.
• Shampine, Lawrence F .; Reichelt, Mark W. (1997), „Sada Matlab ODE“ (PDF), SIAM Journal on Scientific Computing, 18 (1): 1–22, doi:10.1137 / S1064827594276424, ISSN  1064-8275.