Přibližování černochů - Blacks approximation - Wikipedia

v finance, Blackova aproximace je přibližná metoda pro výpočet hodnoty americké call opce na akcii vyplácející jedinou dividendu. Popsal to Fischer Black v roce 1975.^[1]

The Black – Scholesův vzorec (dále jen „vzorec BS“) poskytuje explicitní rovnici pro hodnotu kupní opce na akcie bez dividend. V případě, že akcie vyplácejí jednu nebo více samostatných dividend, není znám žádný uzavřený vzorec, ale lze použít několik aproximací, jinak bude nutné Black-Scholes PDE vyřešit číselně. Jedna taková aproximace je popsána zde. Viz také Black – Scholes model # americké možnosti.

Tato metoda v zásadě zahrnuje použití vzorce BS k výpočtu hodnoty dvou evropských opcí:
(1) Evropská výzva se stejnou splatností jako americká výzva se oceňuje, ale se cenou akcií sníženou o současnou hodnotu dividendy, a
(2) Platí evropský hovor, jehož platnost vyprší den před dividendou. Největší z (1) a (2) se bere jako přibližná hodnota pro americký hovor. Viz příklad stranou. Výsledná hodnota se někdy nazývá „pseudoamerická“ hodnota hovoru.

aplikace

Zvažte americkou call opci s ex-dividendovými daty za 3 měsíce a 5 měsíců a s datem vypršení platnosti 6 měsíců. Očekává se, že dividenda ke každému datu ex-dividendy vyplatí 0,70 USD. Další informace jsou uvedeny níže. Najděte hodnotu americké možnosti volání.

${ displaystyle { begin {sladěno} S_ {0} & = $ 40 X & = $ 40 sigma & = 30 \% ; pa r & = 10 \% ; pa T & = 6 ; měsíce = 0,5 ; roky D & = 0,70 $ konec {zarovnáno}}}$

Nejprve musíme vypočítat na základě dvou metod uvedených výše v části metody. Zde vypočítáme obě části:

(1) Toto je první výpočet metody, který uvádí:

Oceňuje se evropský hovor se stejnou splatností jako americký hovor, ale cena akcií se snižuje o současnou hodnotu dividendy.

${ displaystyle { begin {aligned} PV & = D_ {1} e ^ {- (r) ({ frac { Delta t_ {1}} {m}})} + D_ {2} e ^ {- ( r) ({ frac { Delta t_ {2}} {m}})} end {zarovnáno}}}$

kde

${ displaystyle PV}$ je čistá současná hodnota dividend k datům ex-dividend (používáme data ex-dividend, protože k tomuto datu cena akcií klesá o částku dividendy)

${ displaystyle D_ {1,2}}$ jsou dividendy k datům ex-dividend

${ displaystyle r}$ je bezriziková míra trhu, kterou budeme pro tento příklad považovat za konstantní

${ displaystyle Delta t_ {1,2}}$ čas do data ex-dividendy

${ displaystyle m}$ dělicí faktor, který přinese Δt na celý rok. (příklad ${ displaystyle Delta t}$ = 2 měsíce, ${ displaystyle m}$ = 12 měsíců, tedy ${ displaystyle { frac { Delta t} {m}}}$ = 2/12 = .166667)

${ displaystyle e}$ je exponenciální funkce.

Použití tohoto vzorce na otázku:

${ displaystyle { begin {aligned} 0,7e ^ {- (. 1) ({ frac {3} {12}})} + 0,7e ^ {- (. 1) ({ frac {5} {12 }})} = 1,3541 end {zarovnáno}}}$

Cenu opce lze proto vypočítat pomocí Black-Scholes -Mertonův model, ze kterého budou diskontovány dividendy ${ displaystyle S_ {0}}$ kterou označím ${ displaystyle S_ {0} '}$ pro novou hodnotu:

${ displaystyle S_ {0} '= 40-1,3541 = 38,6459}$

Zbytek proměnných zůstává stejný. Nyní musíme vypočítat d₁ ad₂ pomocí těchto vzorců

${ displaystyle { begin {sladěno} C & = S_ {0} N (d_ {1}) - Xe ^ {- r (T)} N (d_ {2}) d_ {1} & = { frac { left [ ln left ({ frac {S_ {0}} {X}} right) + left (r + { frac { sigma ^ {2}} {2}} right) (T ) right]} { sigma { sqrt {T}}}} d_ {2} & = d_ {1} - sigma { sqrt {T}} end {zarovnáno}}}$

kde,

${ displaystyle N ( cdot)}$ je kumulativní distribuční funkce z standardní normální rozdělení

${ displaystyle T}$ je čas do splatnosti

${ displaystyle S_ {0}}$ je aktuální cena podkladového aktiva

${ displaystyle X}$ je realizační cena

${ displaystyle r}$ je bezriziková sazba (roční sazba, vyjádřená jako kontinuální složení )

${ displaystyle sigma}$ je volatilita výnosů podkladového aktiva

Zadáním hodnot, které získáme:

${ displaystyle { begin {aligned} d_ {1} & = { frac { left [ ln left ({ frac {38.6459} {40}} right) + left (0,1 + { frac { 0,3 ^ {2}} {2}} vpravo) (0,5) vpravo]} {0,3 { sqrt {0,5}}}} = 0,1794 d_ {2} & = 0,1794-0,3 { sqrt {0,5} } = - 0,0327 N (d_ {1}) & = 0,5712 N (d_ {2}) & = 0,4870 C & = 38,6459 (0,5712) -40e ^ {- 0,1 (0,5)} (0,4870) = 3,5446 přibližně 3,54 $ end {zarovnáno}}}$

(2) Toto je druhá metoda výpočtu, která uvádí:

Platí evropský hovor, jehož platnost vyprší den před dividendou.

Tato metoda začíná stejně jako předchozí metoda s tím rozdílem, že splatnost těchto opcí je nastavena na poslední splatnost před poslední dividendou (to znamená druhou dividendu v pátém měsíci):

${ displaystyle { begin {aligned} PV & = D_ {1} e ^ {- (r) ({ frac { Delta t_ {1}} {m}})} end {aligned}}}$

Proměnné z větší části zůstávají stejné, kromě doby do splatnosti, která se rovná:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} T & = 5 ; měsíce = 0,4167 ; roky konec {zarovnáno}}}$

${ displaystyle { begin {aligned} PV & = 0,7e ^ {- (0,1) ({ frac {3} {12}})} = 0,6827 S_ {0} '& = 40-0,6827 = 39,3173 d_ {1} & = { frac { left [ ln left ({ frac {39.3173} {40}} right) + left (0,1 + { frac {0,3 ^ {2}} {2} } right) (0,4167) right]} {0,3 { sqrt {0,4167}}}} = 0,2231 d_ {2} & = 0,2231-0,3 { sqrt {0,4167}} = 0,0294 N (d_ { 1}) & = 0,5883 N (d_ {2}) & = 0,5117 C & = 39,3173 (0,5883) -40e ^ {- 0,1 (0,4167)} (0,5117) = 3,4997 přibližně $ 3,50 konec {zarovnáno} }}$

Cena metody vyvolání (1) ${ displaystyle $ 3,54> $ 3,50}$ z metody (2) vidíme, že cena americké call opce, podle aproximace Fishera Blacka, je větší ze dvou metod, proto cena opce = ${ displaystyle $ 3,54}$.

Reference

• Hull, John C. (1997). Opce, futures a další deriváty. Prentice Hall. ISBN  0-13-601589-1.