Birkhoffovy axiomy - Birkhoffs axioms - Wikipedia

V roce 1932 G. D. Birkhoff vytvořil sadu čtyř postuláty z Euklidovská geometrie v letadle, někdy označované jako Birkhoffovy axiomy.^[1] Všechny tyto postuláty jsou založeny na základních geometrie to lze experimentálně potvrdit pomocí a měřítko a úhloměr. Protože postuláty staví na reálná čísla, přístup je podobný a Modelka - úvod do euklidovské geometrie.

Birkhoffův axiomový systém využili v učebnici pro střední školy Birkhoff a Beatley.^[2]Tyto axiomy byly také upraveny Studijní skupina pro školní matematiku poskytnout nový standard pro výuku geometrie středních škol, známý jako SMSG axiomy Několik dalších učebnic v základy geometrie použít varianty Birkhoffových axiomů.^[3]

Postuláty

Vzdálenost mezi dvěma body $A$ a $B$ je označen $d (A, B)$ a úhel tvořený třemi body $A, B, C$ je označen $∠ ABC$ .

Postulate I: Postulate of line measure. Sada bodů ${A, B, ...}$ na libovolném řádku lze uvést do korespondence 1: 1 s reálná čísla ${A, b, ...}$ aby $| b - A | = d (A, B)$ pro všechny body $A$ a $B$ .

Postulate II: Bodový postulát. Existuje pouze jeden řádek $ℓ$ který obsahuje libovolné dva dané odlišné body $P$ a $Q$ .

Postulate III: Postulate of angle measure. Sada paprsků ${ℓ, m, n, ...}$ přes jakýkoli bod $Ó$ lze dát do korespondence 1: 1 se skutečnými čísly $A (mod 2 π)$ takže pokud $A$ a $B$ jsou body (nerovná se $Ó$ ) z $ℓ$ a $m$ rozdíl $A m - A ℓ (mod 2π)$ čísel spojených s řádky $ℓ$ a $m$ je $∠ AOB$ . Kromě toho, pokud je bod $B$ na $m$ liší se nepřetržitě v řadě $r$ neobsahující vrchol $Ó$ , číslo $A m$ průběžně se také mění.

Postulát IV: Postulát podobnosti. Vzhledem k tomu, dva trojúhelníky $ABC$ a $A'B'C '$ a některé konstantní $k > 0$ takhle $d (A ', B') = kd (A, B), d (A ', C') = kd (A, C.)$ a $∠ B'A'C ' = \pm∠ BAC$ , pak $d (PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM') = kd (PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM), ∠ C'B'A ' = \pm∠ CBA$ , a $∠ A'C'B ' = \pm∠ ACB$ .

Viz také

Reference

^ Birkhoff, George David (1932), "Sada postulátů pro rovinnou geometrii (na základě měřítka a úhloměrů)", Annals of Mathematics, 33: 329–345, doi:10.2307/1968336, hdl:10338.dmlcz / 147209
^ Birkhoff, George David; Beatley, Ralph (2000) [první vydání, 1940], Základní geometrie (3. vyd.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2101-5
^ Kelly, Paul Joseph; Matthews, Gordon (1981), Neeuklidovská hyperbolická rovina: její struktura a konzistence, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90552-9

[1] Birkhoff, George David (1932), "Sada postulátů pro rovinnou geometrii (na základě měřítka a úhloměrů)", Annals of Mathematics, 33: 329–345, doi:10.2307/1968336, hdl:10338.dmlcz / 147209

[2] Birkhoff, George David; Beatley, Ralph (2000) [první vydání, 1940], Základní geometrie (3. vyd.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2101-5

[3] Kelly, Paul Joseph; Matthews, Gordon (1981), Neeuklidovská hyperbolická rovina: její struktura a konzistence, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90552-9

[1]

[2]

[3]