Biortogonální polynom - Biorthogonal polynomial

V matematice, a biortogonální polynom je polynom, který je kolmý na několik různých měr. Biortogonální polynomy jsou zobecněním ortogonální polynomy a sdílet mnoho z jejich vlastností. V literatuře existují dva různé pojmy biortogonálních polynomů: Iserles & Nørsett (1988) představil koncept polynomů biortogonálních s ohledem na posloupnost opatření, zatímco Szegő představil koncept dvou sekvencí polynomů, které jsou vůči sobě navzájem biortogonální.

Polynomy biortogonální vzhledem k posloupnosti měr

Polynom str je nazýván biortogonální s ohledem na sled opatření μ₁, μ₂, ... pokud

${ displaystyle int p (x) , d mu _ {i} (x) = 0}$ kdykoli i ≤ deg (str).

Biortogonální páry sekvencí

Dvě sekvence ψ₀, ψ₁, ... a φ₀, φ₁, ... polynomů se nazývá biortogonální (pro jistou míru μ) pokud

${ displaystyle int phi _ {m} (x) psi _ {n} (x) , d mu (x) = 0}$

kdykoli m ≠ n.

Definice biortogonálních párů sekvencí je v jistém smyslu zvláštním případem definice biortogonality s ohledem na posloupnost měr. Přesněji dvě sekvence ψ₀, ψ₁, ... a φ₀, φ₁, ... polynomů jsou biortogonální pro míru μ tehdy a jen tehdy, když posloupnost ψ₀, ψ₁, ... je biortogonální pro posloupnost měr φ₀μ, φ₁μ, ..., a posloupnost φ₀, φ₁, ... je biotogonální pro posloupnost měr ψ₀μ, ψ₁μ, ....

Reference

• Iserles, Arieh; Nørsett, Syvert Paul (1988), „O teorii biortogonálních polynomů“, Transakce Americké matematické společnosti, 306 (2): 455–474, doi:10.2307/2000806, ISSN  0002-9947, JSTOR  2000806, PAN  0933301