Bickley jet - Bickley jet - Wikipedia

v dynamika tekutin, Bickley jet je stabilní dvourozměrná laminární rovina proud s velkým proudem Reynoldsovo číslo objevující se v klidu v tekutině, pojmenované po W. G. Bickleym, který analytické řešení poskytl v roce 1937,^[1] k problému odvozenému Schlichting v roce 1933^[2] a odpovídající problém v osových souřadnicích se nazývá jako Schlichting jet. Řešení platí pouze pro vzdálenosti daleko od počátku tryskového letadla.

Popis toku^[3][4]

Vezměme si ustálenou rovinu vystupující do stejné tekutiny, což je typ ponořených trysek z úzké štěrbiny, která má být velmi malá (takže tekutina ztrácí paměť na tvar a velikost štěrbiny daleko od původu, pamatuje si pouze čistý tok hybnosti). Nechť je rychlost ${ displaystyle (u, v)}$ v kartézské souřadnici a ose paprsku ${ displaystyle x}$ osa s počátkem v ústí. Tok je u velkých podobný Reynoldsovo číslo (tryska je tak tenká, že ${ displaystyle u (x, y)}$ se v příčném směru mění mnohem rychleji ${ displaystyle y}$ směru než po proudu ${ displaystyle x}$ směr) a lze jej aproximovat pomocí mezní vrstva rovnice.

${ displaystyle { begin {aligned} { frac { částečné u} { částečné x}} + { frac { částečné v} { částečné y}} & = 0, u { frac { částečné u} { částečné x}} + v { frac { částečné u} { částečné y}} & = nu { frac { částečné ^ {2} u} { částečné y ^ {2}} }, end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle nu}$ je kinematická viskozita a tlak je všude stejný jako tlak vnější kapaliny. Protože kapalina je v klidu daleko od středu paprsku

${ displaystyle u rightarrow 0}$ tak jako ${ displaystyle y rightarrow pm infty}$,

a protože tok je symetrický kolem ${ displaystyle x}$ osa

${ displaystyle v = 0}$ na ${ displaystyle y = 0}$,

a také proto, že neexistuje pevná hranice a tlak je konstantní, tok hybnosti ${ displaystyle M}$ přes jakékoli letadlo kolmé k ${ displaystyle x}$ osa musí být stejná

${ displaystyle M = 2 rho int _ {0} ^ { infty} u ^ {2} , dy}$

je konstanta, kde ${ displaystyle rho}$ který také konstantní pro nestlačitelný průtok.

Důkaz konstantního toku osového momentu

Podmínku toku konstantní hybnosti lze získat integrací rovnice hybnosti napříč paprskem.

${ displaystyle { begin {zarovnáno} & int _ {- infty} ^ { infty} u { frac { částečné u} { částečné x}} , dy + int _ {- infty} ^ { infty} v { frac { částečné u} { částečné y}} , dy = levé [ nu { frac { částečné u} { částečné y}} pravé] _ {- infty } ^ { infty}, [10 bodů] & { frac {d} {dx}} int _ {- infty} ^ { infty} u ^ {2} , dy = 0, quad Rightarrow quad int _ {0} ^ { infty} u ^ {2} , dy = { text {constant}}. End {aligned}}}$

kde ${ Displaystyle v částečné u / částečné y = částečné (uv) / částečné y-u částečné v / částečné y = částečné (uv) / částečné y + u částečné u / částečné x}$ se používá ke zjednodušení výše uvedené rovnice. Masový tok ${ displaystyle Q}$ napříč jakýmkoli normálním průřezem k ${ displaystyle x}$ osa není konstantní, protože dochází k pomalému unášení vnější tekutiny do paprsku a je to součást řešení mezní vrstvy. To lze snadno ověřit integrací rovnice kontinuity přes hraniční vrstvu.

${ displaystyle { begin {zarovnáno} int _ {- infty} ^ { infty} { frac { částečné u} { částečné x}} , dy + int _ {- infty} ^ { infty} { frac { částečné v} { částečné y}} , dy & = 0, [8pt] { frac {d} {dx}} int _ {- infty} ^ { infty} u , dy = - { Big [} v { Big]} _ {- infty} ^ { infty} & = - 2v (x, infty). end {zarovnáno}}}$

kde podmínka symetrie ${ displaystyle v (x, - infty) = - proti (x, infty)}$ se používá.

Self-podobné řešení^[5][6][7]

Self-podobné řešení se získá zavedením transformace

${ displaystyle eta = { frac {y} {x ^ {2/3}}}, quad u = { frac {6 nu} {x ^ {1/3}}} F '( eta ), quad v = { frac {2 nu} {x ^ {2/3}}} (2 eta F '( eta) -F ( eta))}$

rovnice se redukuje na

${ displaystyle F '' '+ 2FF' '+ 2F' ^ {2} = 0,}$

zatímco se stanou okrajové podmínky

${ Displaystyle F '( pm infty) = 0, quad F (0) = 0, quad M = 72 nu ^ {2} rho int _ {0} ^ { infty} F' ^ {2} , d eta.}$

Přesné řešení je dáno

${ displaystyle F ( eta) = alpha tanh alpha eta}$

kde ${ displaystyle alpha}$ je řešeno z následující rovnice

${ displaystyle M = 72 nu ^ {2} rho int _ {0} ^ { infty} operatorname {sech} ^ {4} eta , d eta = 48 nu ^ {2} rho alpha ^ {3}, quad Rightarrow quad alpha = left ({ frac {M} {48 nu ^ {2} rho}} right) ^ {1/3}.}$

Pronájem

${ displaystyle xi = alpha eta = 0,2752 left ({ frac {M} { nu ^ {2} rho}} right) ^ {1/3} { frac {y} {x ^ {2/3}}},}$

rychlost je dána vztahem

${ displaystyle { begin {aligned} u & = 0,4543 left ({ frac {M ^ {2}} { nu rho ^ {2} x}} right) ^ {1/3} operatorname {sech } ^ {2} xi, v & = 0,5503 left ({ frac {M nu} { rho x ^ {2}}} right) ^ {1/3} (2 xi operatorname { sech} ^ {2} xi - tanh xi). end {zarovnáno}}}$

Hmotnostní průtok ${ displaystyle Q}$ napříč rovinou na dálku ${ displaystyle x}$ z normálního otvoru do trysky je

${ displaystyle Q = 2 rho int _ {0} ^ { infty} u , dy = 3,3019 (M nu ^ {2} rho x) ^ {1/3}.}$

Viz také

• Landau – Squire jet

Reference