Bermanův tok - Berman flow - Wikipedia

v dynamika tekutin, Bermanův tok je stálý tok vytvořený uvnitř obdélníkového kanálu se dvěma stejně porézní stěny. Pojem je pojmenován po vědci Abrahamovi S. Bermanovi, který problém formuloval v roce 1953.^[1]

Popis toku

Zvažte obdélníkový kanál o šířce mnohem delší, než je výška. Vzdálenost mezi horní a spodní stěnou musí být ${ displaystyle 2h}$ a zvolit takové souřadnice ${ displaystyle x = 0, y = 0}$ leží uprostřed mezi dvěma stěnami, s ${ displaystyle y}$ body kolmé k rovinám. Nechť jsou obě stěny porézní se stejnou rychlostí ${ displaystyle V}$. Pak rovnice kontinuity a Navier-Stokesovy rovnice pro nestlačitelnou tekutinu^[2]

${ displaystyle { begin {zarovnaný} { frac { částečný u} { částečný x}} + { frac { částečný v} { částečný y}} & = 0 u { frac { částečný u} { částečné x}} + v { frac { částečné u} { částečné y}} & = - { frac {1} { rho}} { frac { částečné p} { částečné x }} + nu left ({ frac { částečné ^ {2} u} { částečné x ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} u} { částečné y ^ {2 }}} vpravo), u { frac { částečné v} { částečné x}} + v { frac { částečné v} { částečné y}} & = - { frac {1} { rho}} { frac { částečné p} { částečné y}} + nu vlevo ({ frac { částečné ^ {2} v} { částečné x ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} v} { částečné y ^ {2}}} vpravo) konec {zarovnáno}}}$

s okrajovými podmínkami

${ displaystyle u (x, pm h) = 0, quad left ({ frac { částečné u} { částečné y}} vpravo) _ {y = 0} = 0, quad v (x , 0) = 0, quad v (x, pm h) = V}$

Okrajové podmínky ve středu jsou způsobeny symetrií. Protože řešení je symetrické nad rovinou ${ displaystyle y = 0}$, stačí popsat pouze polovinu toku, řekněme pro ${ displaystyle y> 0}$. Pokud hledáme ${ displaystyle v}$ řešení, které je nezávislé na ${ displaystyle x}$, rovnice kontinuity určuje, že horizontální rychlost ${ displaystyle u}$ může být maximálně lineární funkcí ${ displaystyle x}$.^[3] Proto Berman představil následující formulář,

${ displaystyle eta = { frac {y} {h}}, quad psi (x, eta) = [h { bar {u}} _ {o} -xV] f ( eta), quad u = left (u_ {o} - { frac {Vx} {h}} right) f '( eta), quad v = Vf ( eta)}$

kde ${ displaystyle u_ {o} ( eta)}$ je libovolná funkce a v pravý čas bude z problému odstraněna. Dosazením do rovnice hybnosti vede k

${ displaystyle { begin {aligned} - { frac {1} { rho}} { frac { částečný p} { částečný x}} & = left ({ bar {u}} _ {o } - { frac {Vx} {h}} vpravo) vlevo (- { frac {V} {h}} [f '^ {2} -ff' '] - { frac { nu} { h ^ {2}}} f '' ' vpravo), - { frac {1} { rho}} { frac { částečné p} { částečné eta}} & = nu { frac {dv} {d eta}} - { frac { nu} {h}} { frac {d ^ {2} v} {d eta ^ {2}}} end {zarovnáno}}}$

Bermanův tok

Diferenciace druhé rovnice s ohledem na ${ displaystyle x}$ dává ${ displaystyle částečné ^ {2} p / částečné x částečné eta = 0}$ to lze dosadit do první rovnice po převzetí derivace vzhledem k ${ displaystyle eta}$ což vede k

${ displaystyle f ^ {iv} + operatorname {Re} (f '^ {2} -ff' ')' = 0}$

kde ${ displaystyle operatorname {Re} = Vh / nu}$ je Reynoldsovo číslo. Integrace jednou, dostaneme

${ displaystyle f '' '+ operatorname {Re} (f' ^ {2} -ff '') = C}$

s okrajovými podmínkami

${ displaystyle f (0) = f '' (0) = f (1) -1 = f '(1) = 0}$

Tato nelineární obyčejná diferenciální rovnice třetího řádu vyžaduje tři okrajové podmínky a čtvrtou okrajovou podmínkou je určení konstanty ${ displaystyle C}$. a tato rovnice má více řešení.^[4][5] Obrázek ukazuje numerické řešení pro nízké Reynoldsovo číslo, řešení rovnice pro velké Reynoldsovo číslo není triviální výpočet.

Viz také

• Taylor – Culickův tok

Reference