Bell trojúhelník - Bell triangle

Konstrukce Bell trojúhelníku

V matematice je Bell trojúhelník je trojúhelník čísel analogický k Pascalův trojúhelník, jehož hodnoty se počítají oddíly sady ve kterém je daný prvek největší jedináček. Je pojmenován pro své úzké spojení s Čísla zvonků,[1] které lze nalézt na obou stranách trojúhelníku a které jsou zase pojmenovány podle Eric Temple Bell. Bellův trojúhelník byl objeven samostatně několika autory, počínaje Charles Sanders Peirce  (1880 ) a včetně také Alexander Aitken  (1933 ) a Cohn a kol. (1962), a proto byl také povolán Aitkenovo pole nebo Peirce trojúhelník.[2]

Hodnoty

Různé zdroje dávají stejný trojúhelník v různých orientacích, některé od sebe převrácené.[3] Ve formátu podobném Pascalovu trojúhelníku a v pořadí uvedeném v Online encyklopedie celočíselných sekvencí, jeho prvních několik řádků je:[2]

                    1                 1     2              2     3     5           5     7    10    15       15    20    27    37    52    52    67    87   114   151   203203   255   322   409   523   674   877

Konstrukce

Bellův trojúhelník může být sestrojen umístěním čísla 1 na jeho první pozici. Po tomto umístění je hodnota zcela vlevo v každém řádku trojúhelníku vyplněna zkopírováním hodnoty zcela vpravo v předchozím řádku. Zbývající pozice v každém řádku jsou vyplněna pravidlem velmi podobným pravidlu pro Pascalův trojúhelník: jsou součtem dvou hodnot nalevo a nahoře vlevo od pozice.

Po počátečním umístění čísla 1 do horní řady je to tedy poslední pozice v její řadě a zkopíruje se do polohy zcela vlevo v další řadě. Třetí hodnota v trojúhelníku, 2, je součtem dvou předchozích hodnot nahoře a nalevo od ní. Jako poslední hodnota v jeho řádku se 2 zkopíruje do třetího řádku a proces pokračuje stejným způsobem.

Kombinatorický výklad

The Čísla zvonků sami, na levé a pravé straně trojúhelníku, spočítat počet způsobů rozdělení A konečná množina do podskupin nebo ekvivalentně počtu ekvivalenční vztahy na scéně.Sun & Wu (2011) poskytnout následující kombinatorickou interpretaci každé hodnoty v trojúhelníku. Po Sunu a Wu, pojďme An, k označte hodnotu, která je k pozice zleva v nth řádek trojúhelníku, s horní části trojúhelníku očíslovány jako A1,1. Pak An, k spočítá počet oddílů sady {1, 2, ...,n + 1} ve kterém je prvek k + 1 je jediný prvek v jeho sadě a každý prvek s vyšším číslem je v sadě více než jednoho prvku. To znamená k +1 musí být největší jedináček oddílu.

Například číslo 3 uprostřed třetí řady trojúhelníku by bylo ve svém zápisu označeno jako A3,2, a počítá počet oddílů {1, 2, 3, 4}, ve kterých je 3 největším singletonovým prvkem. Existují tři takové oddíly:

{1}, {2, 4}, {3}
{1, 4}, {2}, {3}
{1, 2, 4}, {3}.

Zbývající oddíly těchto čtyř prvků buď nemají v sadě 3 samy o sobě, nebo mají větší sadu singletonů {4} a v obou případech se nezapočítávají do A3,2.

Ve stejné notaci Sun & Wu (2011) rozšířit trojúhelník o další úhlopříčku nalevo od ostatních hodnot čísel

An,0 = 1, 0, 1, 1, 4, 11, 41, 162, ... (sekvence A000296 v OEIS )

počítání oddílů stejné sady n + 1 položek, ve kterých je pouze první položka singleton. Jejich rozšířený trojúhelník je[4]

                       1                    0     1                 1     1     2              1     2     3     5           4     5     7    10    15       11    15    20    27    37    52    41    52    67    87   114   151   203162   203   255   322   409   523   674   877

Tento trojúhelník může být sestaven podobně jako původní verze Bellova trojúhelníku, ale s jiným pravidlem pro zahájení každého řádku: hodnota úplně vlevo v každém řádku je rozdílem hodnot vpravo a vlevo od předchozí řady.

Alternativní, ale odbornější interpretace čísel ve stejném rozšířeném trojúhelníku je dána vztahem Quaintance & Kwong (2013).

Úhlopříčky a součet řádků

Levá a pravá úhlopříčka Bellova trojúhelníku obsahují sekvenci 1, 1, 2, 5, 15, 52, ... Čísla zvonků (s počátečním prvkem chybí v případě úhlopříčky zcela vpravo). Další úhlopříčka rovnoběžná s úhlopříčkou zcela vpravo dává posloupnost rozdíly ze dvou po sobě jdoucích čísel Bell, 1, 3, 10, 37, ... a každá následující paralelní úhlopříčka udává posloupnost rozdílů předchozích úhlopříček.

Tímto způsobem, jako Aitken (1933) pozorováno, lze tento trojúhelník interpretovat jako implementaci Gregory – Newtonův interpolační vzorec, který najde koeficienty polynomu ze sledu jeho hodnot v po sobě jdoucích celých číslech pomocí postupných rozdílů. Tento vzorec se velmi podobá a relace opakování které lze použít k definování čísel Bell.

Součty každé řady trojúhelníku, 1, 3, 10, 37, ..., jsou stejnou posloupností prvních rozdílů, které se objevují v úhlopříčce trojúhelníku zprava zprava.[5] The nčíslo v této sekvenci také počítá počet oddílů n prvky do podskupin, kde je jedna z podskupin odlišena od ostatních; například existuje 10 způsobů rozdělení tří položek do podskupin a následného výběru jedné z podskupin.[6]

Související konstrukce

Jiný trojúhelník čísel, s Bellskými čísly pouze na jedné straně as každým číslem určeným jako vážený součet blízkých čísel v předchozím řádku, popsal Aigner (1999).

Poznámky

  1. ^ Podle Gardner (1978), toto jméno navrhl Jeffrey Shallit, jehož příspěvek o stejném trojúhelníku byl později publikován jako Shallit (1980). Shallit zase úvěry Cohn a kol. (1962) pro definici trojúhelníku, ale Cohn et al. nepojmenoval trojúhelník.
  2. ^ A b Sloane, N. J. A. (vyd.). „Sequence A011971 (Aitken's array)“. The On-line encyklopedie celočíselných sekvencí. Nadace OEIS.
  3. ^ Například, Gardner (1978) ukazuje dvě orientace, obě odlišné od zde uvedené.
  4. ^ Sloane, N. J. A. (vyd.). „Sequence A106436“. The On-line encyklopedie celočíselných sekvencí. Nadace OEIS.
  5. ^ Gardner (1978).
  6. ^ Sloane, N. J. A. (vyd.). „Sequence A005493“. The On-line encyklopedie celočíselných sekvencí. Nadace OEIS..

Reference

externí odkazy