Problém s Banachsovou krabičkou - Banachs matchbox problem - Wikipedia

Banachův problém se zápasem je klasický problém v pravděpodobnost přičítáno Stefan Banach. společník ^[1] říká, že problém byl inspirován vtipným odkazem na kouření Banacha v projevu, který ho ctí Hugo Steinhaus, ale nebyl to Banach, kdo nastavil problém nebo poskytl odpověď.

Předpokládejme, že matematik nese vždy dvě krabičky se zápalkami: jednu v levé kapse a jednu v pravé. Pokaždé, když potřebuje zápas, je stejně pravděpodobné, že si ho vezme z kterékoli kapsy. Předpokládejme, že sáhne do kapsy a poprvé zjistí, že vybraná krabice je prázdná. Pokud se předpokládá, že každá z krabiček zápalek původně obsahovala ${ displaystyle N}$ shody, jaká je pravděpodobnost, že přesně existují ${ displaystyle k}$ zápasy v druhé krabici?

Řešení

Bez ztráty obecnosti zvažte případ, kdy má zápalek v pravé kapse neomezený počet zápasů, a nechte ho ${ displaystyle M}$ být počet zápasů odstraněných z tohoto dříve, než bude shledán prázdný levý. Když se zjistí, že levá kapsa je prázdná, muž si tuto kapsu vybral ${ displaystyle (N + 1)}$ krát. Pak ${ displaystyle M}$ je počet úspěchů dříve ${ displaystyle (N + 1)}$ selhání v Bernoulliho zkouškách s ${ displaystyle p = 1/2}$ , který má negativní binomické rozdělení a tudíž

{ displaystyle P [M = m] = { binom {N + m} {m}} vlevo ({ frac {1} {2}} vpravo) ^ {N + 1 + m}}

.

Vrátíme-li se k původnímu problému, vidíme, že pravděpodobnost, že se nejprve zjistí, že je levá kapsa prázdná, je první ${ displaystyle P [M$ což se rovná ${ displaystyle 1/2}$ protože oba jsou stejně pravděpodobné. Vidíme to číslo ${ displaystyle K}$ zbývajících zápasů v druhé kapse je

{ displaystyle P [K = k] = P [M = Nk | M

.

Očekávání distribuce je přibližně ${ displaystyle 2 { sqrt {N / pi}} - 1}$ . (Toto je zobrazeno pomocí Stirlingova aproximace.^[2]) Takže počínaje krabicemi s ${ displaystyle N = 40}$ zápasů, očekávaný počet zápasů ve druhém poli je ${ displaystyle 6}$ .

Rozdělení pravděpodobnosti k zápasy zbývající v druhé kapse.

Reference

^ Feller, William, An Introduction to Probability Theory And its Applications, Third Edition, Wiley, 1968, Kapitola VI, oddíl 8
^ Feller, strana 238.

externí odkazy

Applet Java

[1] Feller, William, An Introduction to Probability Theory And its Applications, Third Edition, Wiley, 1968, Kapitola VI, oddíl 8

[2] Feller, strana 238.

[1]

[2]