Büchisův problém - Büchis problem - Wikipedia

Bučiho problém, také známý jako n problém čtverců, je otevřený problém od teorie čísel pojmenoval podle švýcarského matematika Julius Richard Büchi. Ptá se, zda existuje kladné celé číslo M tak, že každá posloupnost M nebo více celočíselných čtverců, jejichž druhý rozdíl je konstantní a rovný 2, je nutně posloupnost čtverců ve tvaru (X + i)², i = 1, 2, ..., M, ... pro celé čísloX. V roce 1983 Douglas Hensley poznamenal, že Büchiho problém je ekvivalentní následujícímu: Existuje kladné celé číslo M taková, že pro všechna celá čísla X a A, množství (X + n)² + A nemůže být čtverec více než M po sobě jdoucí hodnotyn, pokudA = 0?

Prohlášení o Büchiho problému

Büchiho problém lze konstatovat následovně: Existuje kladné celé číslo M takový, že soustava rovnic

${ displaystyle { begin {cases} x_ {2} ^ {2} -2x_ {1} ^ {2} + x_ {0} ^ {2} = 2 x_ {3} ^ {2} -2x_ { 2} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} = 2 {} quad vdots x_ {M-1} ^ {2} -2x_ {M-2} ^ {2} + x_ {M-3} ^ {2} = 2 end {cases}}}$

má pouze uspokojivá řešení ${ displaystyle x_ {n} ^ {2} = (x_ {0} + n) ^ {2}.}$

Od prvního rozdílu sekvence ${ displaystyle sigma = (x_ {n} ^ {2}) _ {n = 0, tečky, M-1}}$ je sekvence ${ displaystyle Delta ^ {(1)} ( sigma) = (x_ {n + 1} ^ {2} -x_ {n} ^ {2}) _ {n = 0, tečky, M-2} }$, druhý rozdíl ${ displaystyle sigma}$ je

${ displaystyle Delta ^ {(2)} ( sigma) = ((x_ {n + 2} ^ {2} -x_ {n + 1} ^ {2}) - (x_ {n + 1} ^ { 2} -x_ {n} ^ {2})) _ {n = 0, dots, M-3} = (x_ {n + 2} ^ {2} -2x_ {n + 1} ^ {2} + x_ {n} ^ {2}) _ {n = 0, dots, M-3}.}$

Výše uvedený systém rovnic je proto ekvivalentní jednoduché rovnici

${ displaystyle Delta ^ {(2)} ( sigma) = (2) _ {n = 0, tečky, M-3}}$

kde neznámá je sekvence ${ displaystyle sigma}$.

Příklady

Všimněte si, že pro jakékoli celé číslo X my máme

${ displaystyle ( star) qquad (x + 2) ^ {2} -2 (x + 1) ^ {2} + x ^ {2} = 2.}$

Proto rovnice ${ displaystyle x_ {2} ^ {2} -2x_ {1} ^ {2} + x_ {0} ^ {2} = 2}$ má řešení, tzv triviální Büchiho sekvence délky tři, takový, že ${ displaystyle x_ {2} ^ {2} = (x_ {0} +2) ^ {2}}$ a ${ displaystyle x_ {1} ^ {2} = (x_ {0} +1) ^ {2}}$. Například sekvence (2, 3, 4) a (2, -3, 4) jsou triviální buchiho sekvence. A netriviální Büchiho sekvence délky tři je dána například posloupností (0, 7, 10), protože splňuje 10² − 2·7² + 0² = 2, zatímco 0², 7² a 10² nejsou po sobě jdoucí čtverce.

Výměna X podle X + 1 v rovnici ${ displaystyle ( star)}$, získáváme ${ displaystyle (x + 3) ^ {2} -2 (x + 2) ^ {2} + (x + 1) ^ {2} = 2}$. Proto soustava rovnic

${ displaystyle { begin {cases} x_ {2} ^ {2} -2x_ {1} ^ {2} + x_ {0} ^ {2} = 2 x_ {3} ^ {2} -2x_ { 2} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} = 2 end {případů}}}$

má triviální Büchi řešení délky 4, konkrétně to uspokojující ${ displaystyle x_ {n} ^ {2} = (x_ {0} + n) ^ {2}}$ pro n = 0, 1, 2, 3. V roce 1983 D. Hensley ukázal, že existuje nekonečně mnoho netriviálních Büchi sekvencí o délce čtyři. Není známo, zda existuje nějaká netriviální Büchiho sekvence o délce pět (Büchi si původně položil otázku pouze proM = 5.).

Původní motivace

Kladná odpověď na Büchiho problém by znamenala použití negativní odpovědi na Hilbertův desátý problém podle Jurij Matijasevič, že neexistuje žádný algoritmus rozhodni se zda jde o diagonální systém kvadratické formy s celočíselnými koeficienty představuje celočíselnou n-tici. Ve skutečnosti Büchi poznamenal, že kvadratura, tedy násobení, by byla existenčně definovatelná v celých číslech přes první objednávka jazyk mající dva symboly konstanty pro 0 a 1, symbol funkce pro součet a symbol relace P vyjádřit, že celé číslo je čtverec.

Některé výsledky

Paul Vojta v roce 1999 prokázal, že pozitivní odpověď na Büchiho problém bude následovat od pozitivní odpovědi k slabé verzi Bombieri – Lang dohad. Ve stejném článku dokazuje, že analogie Büchiho problému pro pole meromorfních funkcí nad komplexními čísly má pozitivní odpověď. Od té doby byly získány pozitivní odpovědi na analogie Büchiho problému v různých dalších kruzích funkcí (v případě kruhů funkcí je třeba přidat hypotézu, že ne všechny X_n jsou konstantní).

Reference

• Vojta, Paul (1999), Diagonální kvadratické tvary a Hilbertův desátý problém, str. 261–274 palců Hilbertův desátý problém: vztahy s aritmetickou a algebraickou geometrií (Ghent, 1999), editováno J. Denefem a kol., Contemp. Matematika. 270, Amer. Matematika. Soc., Providence, RI, 2000.
• Lipshitz, Leonard (1990), "Kvadratické formy, problém pěti čtverců a diofantické rovnice" v Sebraná díla J. Richarda Büchiho. Upraveno uživatelem Saunders Mac Lane a Dirk Siefkes. Springer, New York.
• Hensley, Douglas (1983), „Posloupnosti čtverců s druhým rozdílem dvou a domněnkou o Büchi“, nepublikováno.