Bézierův trojúhelník - Bézier triangle
A Bézierův trojúhelník je speciální typ Bézierův povrch, který je vytvořen (lineární, kvadratický, krychlový nebo vyšší stupeň) interpolace kontrolních bodů.
nBézierův trojúhelník třetího řádu
Generál nBézierův trojúhelník třetího řádu má (n + 1)(n + 2)/2 kontrolní body α i β j y k kde i, j, k jsou nezáporná celá čísla taková, že i + j + k = n.[1] Povrch je pak definován jako
pro všechna nezáporná reálná čísla s + t + u = 1.
S lineární objednat (), výsledný Bézierův trojúhelník je ve skutečnosti obyčejný byt trojúhelník, přičemž vrcholy trojúhelníku se rovnají třem kontrolním bodům. A kvadratický () Bézierův trojúhelník má 6 kontrolních bodů, které jsou umístěny na okrajích. The krychlový () Bézierův trojúhelník je definován 10 kontrolními body a je Bézierovým trojúhelníkem nejnižšího řádu, který má vnitřní kontrolní bod, který není umístěn na okrajích. Okraje trojúhelníku budou ve všech případech Bézierovy křivky stejného stupně.
Kubický Bézierův trojúhelník
A kubický Bézierův trojúhelník je povrch s rovnicí
kde α3, β3, γ3, α2β, αβ2, β2γ, βγ2, αγ2, α2γ a αβγ jsou kontrolní body trojúhelníku a s, t, u (s 0 ≤ s, t, u ≤ 1 a s + t + u = 1) barycentrické souřadnice uvnitř trojúhelníku.[2][1]
Alternativně lze kubický Bézierův trojúhelník vyjádřit jako obecnější formulaci jako
v souladu s formulací § Bézierův trojúhelník n-tého řádu.
Rohy trojúhelníku jsou body α3, β3 a y3. Okraje trojúhelníku jsou samy o sobě Bézierovy křivky, se stejnými kontrolními body jako Bézierův trojúhelník.
Odstraněním termínu γu vznikne pravidelná Bézierova křivka. I když to není příliš užitečné pro zobrazení na obrazovce fyzického počítače, přidáním dalších výrazů, Bézier čtyřstěn nebo Bézier polytop Výsledek.
Vzhledem k povaze rovnice bude celý trojúhelník obsažen v objemu obklopeném kontrolními body a afinní transformace z kontrolních bodů správně transformuje celý trojúhelník stejným způsobem.
Rozpůlení kubického Bézierova trojúhelníku
Výhodou Bézierových trojúhelníků v počítačové grafice je to, že rozdělení Bézierova trojúhelníku na dva samostatné Bézierovy trojúhelníky vyžaduje pouze sčítání a dělení dvěma, nikoli plovoucí bod aritmetický. To znamená, že zatímco Bézierovy trojúhelníky jsou hladké, lze je snadno aproximovat pomocí pravidelných trojúhelníků pomocí rekurzivně rozdělením trojúhelníku na dva, dokud nebudou výsledné trojúhelníky považovány za dostatečně malé.
Následuje výpočet nových kontrolních bodů pro polovinu celého Bézierova trojúhelníku s rohem α3, roh v polovině Bézierovy křivky mezi α3 a β3a třetí roh γ3.
- ekvivalentně, s použitím sčítání a dělení pouze dvěma,
- kde: = znamená nahradit vektor vlevo vektorem vpravo.
- Všimněte si, že rozpůlení Bézierova trojúhelníku na polovinu je podobné rozpůlení Bézierových křivek všech řádů až do pořadí Bézierova trojúhelníku.
Viz také
- Bézierova křivka
- Bézierův povrch (bikvadratické záplaty jsou Bézierovy obdélníky)
- Povrch
Reference
- ^ A b Farin, Gerald (2002), Křivky a povrchy pro počítačově podporovaný geometrický design (5 ed.), Akademický tisk Knihy o vědě a technologii, ISBN 978-1-55860-737-8
- ^ 3D povrchové vykreslování v Postscriptu
externí odkazy
- Kvadratické Bézierovy trojúhelníky jako kresba primitiv Obsahuje více informací o rovinných a kvadratických Bézierových trojúhelnících.
- Příspěvek o použití kubických Bézierových záplat v raytracingu (německy)
- "Ray Tracing Triangular Bézier Patches". CiteSeerX 10.1.1.18.5646. Chybějící nebo prázdný
| url =
(Pomoc) - "Trojúhelníkový Bézierův výstřižek". CiteSeerX 10.1.1.62.8062. Chybějící nebo prázdný
| url =
(Pomoc) - Zakřivené trojúhelníky PN (speciální druh kubických Bézierových trojúhelníků)
- Normální interpolace s vědomím tvaru pro stínování zakřivených ploch z polyedrické aproximace
- Zakřivené trojúhelníky založené na pixelových shaderech
- "Povrchová konstrukce s téměř nejmenším zrychlením založeným na normálech vrcholů na trojúhelníkových sítích". CiteSeerX 10.1.1.6.2521. Chybějící nebo prázdný
| url =
(Pomoc)