Atkinsonova-Mingarelliho věta - Atkinson–Mingarelli theorem

v aplikovaná matematika, Atkinsonova-Mingarelliho věta, pojmenoval podle Frederick Valentine Atkinson a A. B. Mingarelli, se týká vlastních čísel jistých Sturm – Liouville diferenciální operátory.

V nejjednodušších formulacích nechte p, q, w mít skutečnou hodnotu po částech spojité funkce definované v uzavřeném ohraničeném reálném intervalu, Já = [A, b]. Funkce w(X), který je někdy označován r(X), se nazývá funkce „hmotnost“ nebo „hustota“. Zvažte Sturm – Liouville diferenciální rovnice

${ displaystyle - { frac {d} {dx}} vlevo [p (x) { frac {dy} {dx}} vpravo] + q (x) y = lambda w (x) y,}$

(1)

kde y je funkce nezávislé proměnné X. V tomto případě, y se nazývá a řešení pokud je průběžně diferencovatelný na (A,b) a (p y ')(X) je po částech průběžně diferencovatelný a y splňuje rovnici (1) vůbec kromě konečného počtu bodů v (A,b). Neznámá funkce y je obvykle nutné uspokojit některé okrajové podmínky na A a b.

Zde uvažované okrajové podmínky se obvykle nazývají oddělené okrajové podmínky a mají formu:

${ displaystyle alpha _ {1} y (a) + alpha _ {2} y '(a) = 0 qquad qquad qquad ( alpha _ {1} ^ {2} + alpha _ {2 } ^ {2}> 0),}$

(2)

${ displaystyle beta _ {1} y (b) + beta _ {2} y '(b) = 0 qquad qquad qquad ( beta _ {1} ^ {2} + beta _ {2 } ^ {2}> 0),}$

(3)

Kde ${ displaystyle { alpha _ {i}, beta _ {i} }}$, i = 1, 2 jsou reálná čísla. Definujeme

Věta

Předpokládat, že p(X) má konečný počet změn znaménka a to pozitivní (resp. negativní) část funkce p(X)/w(X) definován ${ displaystyle (w / p) _ {+} (x) = max {w (x) / p (x), 0 }}$, (resp. ${ displaystyle (w / p) _ {-} (x) = max {- w (x) / p (x), 0 })}$ nejsou identicky nulové funkce nad I. Pak problém vlastních čísel (1), (2)–(3) má nekonečné množství skutečných kladných vlastních čísel ${ displaystyle { lambda _ {i}} ^ {+}}$,

${ displaystyle 0 <{ lambda _ {1}} ^ {+} <{ lambda _ {2}} ^ {+} <{ lambda _ {3}} ^ {+} < cdots <{ lambda _ {n}} ^ {+} < cdots to infty;}$

a nekonečné množství negativních vlastních čísel ${ displaystyle { lambda _ {i}} ^ {-}}$,

${ displaystyle 0> { lambda _ {1}} ^ {-}> { lambda _ {2}} ^ {-}> { lambda _ {3}} ^ {-}> cdots> { lambda _ {n}} ^ {-}> cdots to - infty;}$

jejichž spektrální asymptotika jsou dána jejich řešením [2] Jörgensovy hypotézy [3]:

${ displaystyle { lambda _ {n}} ^ {+} sim { frac {n ^ {2} pi ^ {2}} { left ( int _ {a} ^ {b} { sqrt {(w / p) _ {+} (x)}} , dx right) ^ {2}}}, quad n to infty,}$

a

${ displaystyle { lambda _ {n}} ^ {-} sim { frac {-n ^ {2} pi ^ {2}} { left ( int _ {a} ^ {b} { sqrt {(w / p) _ {-} (x)}} , dx right) ^ {2}}}, quad n to infty.}$

Další informace o obecné teorii (1) viz článek na Teorie Sturm – Liouville. Uvedená věta ve skutečnosti platí obecněji pro funkce koeficientů ${ displaystyle 1 / p, , q, , w}$ to jsou Lebesgue integrovatelný přes I.

Reference

1. F. V. Atkinson, A. B. Mingarelli, Víceparametrické problémy s vlastním číslem - teorie Sturm – Liouville, CRC Press, Taylor and Francis, 2010. ISBN  978-1-4398-1622-6
2. F. V. Atkinson, A. B. Mingarelli, Asymptotika počtu nul a vlastních čísel obecných vážených Sturm – Liouvilleových problémů, J. für die Reine und Ang. Matematika. (Crelle), 375/376 (1987), 380–393. Viz také bezplatné stažení původního příspěvku.
3. K. Jörgens, Spektrální teorie běžných diferenciálních operátorů druhého řádu„Přednášky na Aarhus Universitet, 1962/63.