Aleksandrov – Clark měří - Aleksandrov–Clark measure - Wikipedia

v matematika, Opatření Aleksandrov – Clark (AC) jsou speciálně konstruovány opatření pojmenoval podle dvou matematici, A. B. Aleksandrov a Douglas Clark, kteří objevili některé ze svých nejhlubších vlastností. Míry se také nazývají buď Aleksandrovovy míry, Clarkovy míry nebo občas spektrální míry.

AC opatření se používají k extrakci informací o vlastních mapách jednotka disku a mají aplikace v řadě oblastí komplexní analýza, zejména ty související s teorie operátorů. Byly také konstruovány systémy střídavých opatření pro vyšší dimenze a pro polorovina.

Konstrukce opatření

Původní konstrukce Clarku souvisí s jednorozměrnými poruchami komprimovaných operátorů řazení v podprostorech Hardy prostor:

${ displaystyle H ^ {2} ( mathbb {D}, mathbb {C}).}$

Na základě Beurlingova věta, jakýkoli podprostor invariantní k posunu tohoto prostoru má formu

${ displaystyle theta H ^ {2} ( mathbb {D}, mathbb {C}),}$

kde ${ displaystyle theta}$ je vnitřní funkce. Jako takový má jakýkoli invariantní podprostor adjunktu posunu tvar

${ displaystyle K _ { theta} = left ( theta H ^ {2} ( mathbb {D}, mathbb {C}) right) ^ { perp}.}$

Nyní definujeme ${ displaystyle S _ { theta}}$ být operátor směny komprimován na ${ displaystyle K _ { theta}}$, to je

${ displaystyle S _ { theta} = P_ {K _ { theta}} S | _ {K _ { theta}}.}$

Clark si všiml, že všechny jednorozměrné poruchy ${ displaystyle S _ { theta}}$, které byly také jednotnými mapami, měly podobu

${ displaystyle U _ { alpha} (f) = S _ { theta} (f) + alpha left langle f, { frac { theta} {z}} right rangle,}$

a spojit každou takovou mapu s mírou, ${ displaystyle sigma _ { alpha}}$ na kruhu jednotek pomocí Spektrální věta. Tato kolekce opatření, pro každé jedno ${ displaystyle alpha}$ na jednotkovém kruhu ${ displaystyle ^ { mathbb {T}}}$, se pak nazývá kolekce AC opatření spojených s ${ displaystyle theta}$.

Alternativní konstrukce

Soubor opatření lze také vytvořit pro jakoukoli analytickou funkci (tj. Ne nutně pro vnitřní funkci). Vzhledem k analytické vlastní mapě ${ displaystyle phi}$, disku jednotky, ${ displaystyle ^ { mathbb {D}}}$, můžeme sestavit sbírku funkcí, ${ displaystyle u _ { alpha}}$, dána

${ displaystyle u _ { alpha} (z) = Re left ({ frac { alpha + varphi (z)} { alpha - varphi (z)}} right),}$

pro každého jeden ${ displaystyle ^ { alpha in mathbb {T}}}$. Každá z těchto funkcí je pozitivní a harmonická, takže podle Herglotzovy věty je každá Poissonovým integrálem nějaké pozitivní míry ${ displaystyle mu _ { alpha}}$ na ${ displaystyle ^ { mathbb {T}}}$. Tato kolekce je sada AC opatření spojených s ${ displaystyle varphi}$. Je možné ukázat, že dvě definice se shodují pro vnitřní funkce.

Reference

• Douglas Clark, Jednorozměrné poruchy omezených směn, J. Analyze Math., 1972, sv. 25, str. 169–191.
• E. Saksman, Základní úvod do Clarkových opatření, v Tématech komplexní analýzy a teorii operátorů, Univ. Málaga, Málaga, 2007, s. 85–136.