Adaptivní Gaborova reprezentace - Adaptive Gabor representation

Adaptivní Gaborova reprezentace (AGR) je Zastoupení Gabor signálu, kde je jeho rozptyl nastavitelný. Mezi tradičním rozlišením času a frekvenčním rozlišením existuje vždy kompromis krátkodobá Fourierova transformace (STFT). Dlouhé okno vede k vysokofrekvenčnímu rozlišení a nízkému časovému rozlišení. Na druhou stranu, vysoké časové rozlišení vyžaduje kratší okno, s výdaji nízkofrekvenčního rozlišení. Volbou správné základní funkce pro signál s různou strukturou spektra je adaptivní Gaborova reprezentace schopna pojmout jak úzkopásmový, tak širokopásmový signál.

Gaborova expanze

V roce 1946 Dennis Gabor navrhl, že signál může být reprezentován ve dvou rozměrech, s časovými a frekvenčními souřadnicemi. A signál může být rozšířen do diskrétní sady Gaussových elementárních signálů.

Definice

Gaborova expanze signálu s (t) je definována tímto vzorcem:

{ displaystyle s (t) = součet _ {m = - infty} ^ { infty} součet _ {n = - infty} ^ { infty} C_ {m, n} h (t-mT) e ^ {jnt Omega}}

kde h(t) je Gaussova základní funkce:

{ displaystyle h (t) = left ({ frac { alpha} { pi}} right) ^ { frac {1} {4}} e ^ { left (- { frac { alpha } {2}} t ^ {2} vpravo)}}

Jakmile je určena Gaborova základní funkce, Gaborovy koeficienty ${ displaystyle C_ {m, n}}$ lze získat vnitřním součinem s (t) a dvojí funkcí ${ displaystyle gamma (t)}$

{ displaystyle C_ {m, n} = int s (t) gamma ^ {*} (t-mT) e ^ {- jnt Omega} , dt.}

${ displaystyle T}$ a ${ displaystyle Omega}$ označují časové a frekvenční kroky vzorkování a splňují kritéria

{ displaystyle T Omega leqq 2 pi ,}

Vztah mezi Gaborovou reprezentací a Gaborovou transformací

Gaborova transformace jednoduše spočítá Gaborovy koeficienty ${ displaystyle C_ {m, n}}$ pro signál s (t).

Adaptivní expanze

Adaptivní rozšiřování signálu je definováno jako

{ displaystyle s left (t right) = sum _ {p} B_ {p} h_ {p} (t)}

kde koeficienty ${ displaystyle B_ {p}}$ jsou získány vnitřním součinem signálu s (t) a elementární funkcí ${ displaystyle h_ {p}}$

{ displaystyle B_ {p} = vlevo langle s, h_ {p} vpravo rangle ,}

Koeficienty ${ displaystyle B_ {p}}$ představují podobnost mezi signálem a základní funkcí.
Adaptivní dekompozice signálu je iterační operace, jejímž cílem je najít sadu základních funkcí ${ displaystyle left {h_ {p} (t) right }}$ , který je nejvíce podobný časově-frekvenční struktuře signálu.
Nejprve začněte s w = 0 a ${ displaystyle s_ {0} left (t right) = s left (t right)}$ . Pak najděte ${ displaystyle h_ {0} left (t right)}$ který má maximální vnitřní produkt se signálem ${ displaystyle s_ {0} left (t right)}$ a

{ displaystyle left | B_ {p} right | ^ {2} = max _ {h} left | left langle s_ {p} (t), h_ {p} (t) right rangle vpravo | ^ {2}}

Za druhé, spočítejte zbytek:

{ displaystyle s_ {1} left (t right) = s_ {0} left (t right) -B_ {0} h_ {0} left (t right),}

a tak dále. Vyjde z toho reziduální ( ${ displaystyle s_ {p} left (t right)}$ ), projekce ( ${ displaystyle B_ {p} = left langle s_ {p} (t), h_ {p} (t) right rangle}$ ), a základní funkce ( ${ displaystyle h_ {p} vlevo (t vpravo)}$ ) pro každou jinou str. Energie zbytku zmizí, pokud budeme pokračovat v rozkladu.

Rovnice úspory energie

Pokud elementární rovnice ( ${ displaystyle h_ {p} vlevo (t vpravo)}$ ) je navržen tak, aby měl jednotkovou energii. Poté může být obsah energie ve zbytku v pátém stupni určen zbytkem v p + 1. stupni plus ( ${ displaystyle B_ {p}}$ ). To znamená

{ displaystyle left | s_ {p} (t) right | ^ {2} = left | s_ {p + 1} (t) right | ^ {2} + left | B_ { p} vpravo | ^ {2},}

{ displaystyle left | s (t) right | ^ {2} = sum _ {p = o} ^ { infty} left | B_ {p} right | ^ {2},}

podobně jako Parsevalova věta ve Fourierově analýze.

Výběr elementární funkce je hlavním úkolem při adaptivním rozkladu signálu. Je přirozené zvolit funkci Gaussova typu k dosažení dolní meze nerovnosti:

{ displaystyle h_ {p} (t) = left ({ frac { alpha} { pi}} right) ^ { frac {1} {4}} e ^ {- { frac { alpha } {2}} (t-T_ {p}) ^ {2}} e ^ {jt Omega _ {p}},}

kde ${ displaystyle left (T_ {p}, Omega _ {p} right)}$ je střední a ${ displaystyle alpha _ {p} ^ {- 1}}$ je rozptyl Gaussian v ${ displaystyle left (T_ {p}, Omega _ {p} right)}$ . A

{ displaystyle s left (t right) = sum _ {p} B_ {p} h_ {p} (t) = sum _ {p} B_ {p} left ({ frac { alpha} { pi}} right) ^ { frac {1} {4}} e ^ {- { frac { alpha} {2}} (t-T_ {p}) ^ {2}} e ^ { jt Omega _ {p}}}

se nazývá adaptivní Gaborova reprezentace.

Změnou hodnoty odchylky se změní doba trvání elementární funkce (velikost okna) a střed elementární funkce již nebude pevný. Nastavením středového bodu a rozptylu elementární funkce jsme schopni přizpůsobit funkci místního času a frekvence signálu. Lepšího výkonu adaptace je dosaženo za cenu procesu párování. Kompromis mezi různými délkami okna se nyní stal kompromisem mezi výpočtovým časem a výkonem.

Viz také

Reference

M. J. Bastiaans, „Gaborovo rozšíření signálu do Gaussových elementárních signálů“, Proceedings of the IEEE, vol. 68, číslo: 4, s. 538–539, duben 1980
Shie Qian a Dapang Chen, „Reprezentace signálu pomocí adaptivních normalizovaných Gaussových funkcí,“ Zpracování signálu, sv. 42, č. 3, s. 687–694, březen 1994
Qinye Yin, Shie Qian a Aigang Feng, „Rychlé zdokonalení adaptivního rozkladu gaussovských chirpletů“, IEEE Transactions on Signal Processing, sv. 50, č. 6, s. 1298–1306, červen 2002
Shie Qian, Úvod do časově-frekvenčních a vlnkových transformací, Prentice Hall, 2002