Zrychlení (diferenciální geometrie) - Acceleration (differential geometry) - Wikipedia

v matematika a fyzika, akcelerace je rychlost změny rychlosti křivky vzhledem k dané lineární připojení. Tato operace nám poskytuje měřítko rychlosti a směru „ohybu“.^[1][2]

Formální definice

Zvažte a diferencovatelné potrubí ${ displaystyle M}$ s daným připojením ${ displaystyle Gamma}$. Nechat ${ displaystyle gamma dvojtečka mathbb {R} na M}$ být křivkou v ${ displaystyle M}$ s tečný vektor, tj. rychlost, ${ displaystyle { dot { gamma}} ( tau)}$, s parametrem ${ displaystyle tau}$.

Vektor zrychlení ${ displaystyle gamma}$ je definováno ${ displaystyle nabla _ { dot { gamma}} { dot { gamma}}}$, kde ${ displaystyle nabla}$ označuje kovarianční derivace spojené s ${ displaystyle Gamma}$.

Je to kovariantní derivace ${ displaystyle gamma}$, a je často označován

${ displaystyle nabla _ { dot { gamma}} { dot { gamma}} = { frac { nabla { dot { gamma}}} {d tau}}.}$

S ohledem na libovolný souřadnicový systém ${ displaystyle (x ^ { mu})}$, a s ${ displaystyle ( Gamma ^ { lambda} {} _ { mu nu})}$ jsou komponenty spojení (tj. kovariantní derivace ${ displaystyle nabla _ { mu}: = nabla _ { částečné / x ^ { mu}}}$) ve vztahu k tomuto souřadnicovému systému, definovanému

${ displaystyle nabla _ { částečné / x ^ { mu}} { frac { částečné} { částečné x ^ { nu}}} = gama ^ { lambda} {} _ { mu nu} { frac { částečné} { částečné x ^ { lambda}}},}$

pro vektorové pole zrychlení ${ displaystyle a ^ { mu}: = ( nabla _ { dot { gamma}} { dot { gamma}}) ^ { mu}}$ jeden dostane:

${ displaystyle a ^ { mu} = v ^ { rho} nabla _ { rho} v ^ { mu} = { frac {dv ^ { mu}} {d tau}} + gama ^ { mu} {} _ { nu lambda} v ^ { nu} v ^ { lambda} = { frac {d ^ {2} x ^ { mu}} {d tau ^ {2 }}} + Gamma ^ { mu} {} _ { nu lambda} { frac {dx ^ { nu}} {d tau}} { frac {dx ^ { lambda}} {d tau}},}$

kde ${ displaystyle x ^ { mu} ( tau): = gamma ^ { mu} ( tau)}$ je místní výraz pro cestu ${ displaystyle gamma}$, a ${ displaystyle v ^ { rho}: = ({ dot { gamma}}) ^ { rho}}$.

Koncept zrychlení je koncept kovarianční derivace. Jinými slovy, aby bylo možné definovat zrychlení, zapne se další struktura ${ displaystyle M}$ musí být uveden.

Použitím abstraktní indexová notace, zrychlení dané křivky s jednotkou tečný vektor ${ displaystyle xi ^ {a}}$ darováno ${ displaystyle xi ^ {b} nabla _ {b} xi ^ {a}}$.^[3]

Viz také

• Akcelerace
• Kovovariantní derivát

Poznámky

Reference

• Friedman, M. (1983). Základy časoprostorových teorií. Princeton: Princeton University Press. ISBN  0-691-07239-6.
• Dillen, F. J. E .; Verstraelen, L.C.A. (2000). Příručka diferenciální geometrie. Svazek 1. Amsterdam: Severní Holandsko. ISBN  0-444-82240-2.
• Pfister, Herbert; Král, Markus (2015). Setrvačnost a gravitace. Základní povaha a struktura časoprostoru. Přednášky z fyziky. Svazek 897. Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-319-15036-9. ISBN  978-3-319-15035-2.