Łojasiewicz nerovnost - Łojasiewicz inequality

v skutečná algebraická geometrie, Łojasiewicz nerovnost, pojmenoval podle Stanisław Łojasiewicz, dává horní mez pro vzdálenost bodu k nejbližší nule dané skutečná analytická funkce. Konkrétně let:U → R být skutečnou analytickou funkcí na otevřená sada U v Rⁿa nechte Z být nulové místo z ƒ. Předpokládat, že Z není prázdný. Pak pro všechny kompaktní sada K. v U, existují kladné konstanty α a C takové, že pro všechny X v K.

{ displaystyle operatorname {dist} (x, Z) ^ { alpha} leq C | f (x) |.}

Zde může být α velké.

Následující forma této nerovnosti je často vidět v analytičtějších kontextech: se stejnými předpoklady pro ƒ, pro každou str ∈ U existuje možná menší otevřené sousedství Ž z str a konstanty θ ∈ (0,1) a C > 0 takových

{ displaystyle | f (x) -f (p) | ^ { theta} leq c | nabla f (x) |.}

Zvláštní případ Łojasiewiczovy nerovnosti kvůli Polyak [ru ], se běžně používá k ověření lineárního konvergence z klesání algoritmy.^[1]

Reference

^ Karimi, Hamed; Nutini, Julie; Schmidt, Mark (2016). „Lineární konvergence gradientních a proximálních gradientních metod za podmínek Polyak – Łojasiewicz“. arXiv:1608.04636. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)

Bierstone, Edward; Milman, Pierre D. (1988), "Semianalytické a subanalytické sady", Publikace Mathématiques de l'IHÉS (67): 5–42, ISSN 1618-1913, PAN 0972342
Ji, Shanyu; Kollár, János; Shiffman, Bernard (1992), „Globální Łojasiewiczova nerovnost pro algebraické odrůdy“, Transakce Americké matematické společnosti, 329 (2): 813–818, doi:10.2307/2153965, ISSN 0002-9947, JSTOR 2153965, PAN 1046016

Tento matematická analýza –Příbuzný článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.

[1] Karimi, Hamed; Nutini, Julie; Schmidt, Mark (2016). „Lineární konvergence gradientních a proximálních gradientních metod za podmínek Polyak – Łojasiewicz“. arXiv:1608.04636. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)

[1]