T Hooft symbol - t Hooft symbol - Wikipedia

't Hooft η symbol je symbol, který umožňuje vyjádřit generátory algebry SU (2) Lie z hlediska generátorů Lorentzovy algebry. Symbol je směsicí mezi Kroneckerova delta a Symbol Levi-Civita. To bylo představeno Gerard 't Hooft. Používá se při stavbě BPST instanton.

η^A_μν je 't Hooft symbol:

${ displaystyle eta _ { mu nu} ^ {a} = { begin {cases} epsilon ^ {a mu nu} & mu, nu = 1,2,3 - delta ^ {a nu} & mu = 4 delta ^ {a mu} & nu = 4 0 & mu = nu = 4 end {případů}}.}$

Jinými slovy, jsou definovány pomocí

(${ displaystyle a = 1,2,3; ~ mu, nu = 1,2,3,4; ~ epsilon _ {1234} = + 1}$)

${ displaystyle eta _ {a mu nu} = epsilon _ {a mu nu 4} + delta _ {a mu} delta _ { nu 4} - delta _ {a nu } delta _ { mu 4}}$

${ displaystyle { bar { eta}} _ {a mu nu} = epsilon _ {a mu nu 4} - delta _ {a mu} delta _ { nu 4} + delta _ {a nu} delta _ { mu 4}}$

kde druhé jsou symboly anti-self-dual 't Hooft.

Přesněji řečeno, tyto symboly jsou

${ displaystyle eta _ {1 mu nu} = { begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0 0 & -1 & 0 & 0 - 1 & 0 & 0 & 0 end {bmatrix}}, quad eta _ {2 mu nu} = { begin {bmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 end {bmatrix}}, quad eta _ {3 mu nu} = { begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 - 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & -1 & 0 end {bmatrix}},}$

a

${ displaystyle { bar { eta}} _ {1 mu nu} = { begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & 0 0 & -1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 0 end {bmatrix}}, quad { bar { eta}} _ {2 mu nu} = { begin {bmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & -1 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 end {bmatrix}}, quad { bar { eta}} _ {3 mu nu} = { begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 - 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & 0 end {bmatrix}}.}$

Uspokojují vlastnosti sebe-duality a anti-sebe-duality:

${ displaystyle eta _ {a mu nu} = { frac {1} {2}} epsilon _ { mu nu rho sigma} eta _ {a rho sigma} , qquad { bar { eta}} _ {a mu nu} = - { frac {1} {2}} epsilon _ { mu nu rho sigma} { bar { eta}} _ {a rho sigma} }$

Některé další vlastnosti jsou

${ displaystyle epsilon _ {abc} eta _ {b mu nu} eta _ {c rho sigma} = delta _ { mu rho} eta _ {a nu sigma} + delta _ { nu sigma} eta _ {a mu rho} - delta _ { mu sigma} eta _ {a nu rho} - delta _ { nu rho} eta _ {a mu sigma}}$

${ displaystyle eta _ {a mu nu} eta _ {a rho sigma} = delta _ { mu rho} delta _ { nu sigma} - delta _ { mu sigma} delta _ { nu rho} + epsilon _ { mu nu rho sigma} ,}$

${ displaystyle eta _ {a mu rho} eta _ {b mu sigma} = delta _ {ab} delta _ { rho sigma} + epsilon _ {abc} eta _ { c rho sigma} ,}$

${ displaystyle epsilon _ { mu nu rho theta} eta _ {a sigma theta} = delta _ { sigma mu} eta _ {a nu rho} + delta _ { sigma rho} eta _ {a mu nu} - delta _ { sigma nu} eta _ {a mu rho} ,}$

${ displaystyle eta _ {a mu nu} eta _ {a mu nu} = 12 , quad eta _ {a mu nu} eta _ {b mu nu} = 4 delta _ {ab} , quad eta _ {a mu rho} eta _ {a mu sigma} = 3 delta _ { rho sigma} .}$

Totéž platí pro ${ displaystyle { bar { eta}}}$ až na

${ displaystyle { bar { eta}} _ {a mu nu} { bar { eta}} _ {a rho sigma} = delta _ { mu rho} delta _ { nu sigma} - delta _ { mu sigma} delta _ { nu rho} - epsilon _ { mu nu rho sigma} .}$

a

${ displaystyle epsilon _ { mu nu rho theta} { bar { eta}} _ {a sigma theta} = - delta _ { sigma mu} { bar { eta} } _ {a nu rho} - delta _ { sigma rho} { bar { eta}} _ {a mu nu} + delta _ { sigma nu} { bar { eta}} _ {a mu rho} ,}$

Očividně ${ displaystyle eta _ {a mu nu} { bar { eta}} _ {b mu nu} = 0}$ kvůli různým vlastnostem duality.

Mnoho jejich vlastností je uvedeno v příloze příspěvku 't Hooft^[1] a také v článku Belitsky et al.^[2]

Viz také

• Instanton

Reference