Známs problém - Známs problem - Wikipedia

Grafická ukázka, že 1 = 1/2 + 1/3 + 1/11 + 1/23 + 1/31 + 1 / (2 × 3 × 11 × 23 × 31). Každá řada čtverců k o délce strany 1 / k má celkovou plochu 1 / k a všechny čtverce dohromady přesně pokrývají větší čtverec s plochou 1. Dolní řada 47058 čtverců s délkou strany 1/47058 je příliš malá na to, aby byla vidět obrázek a není zobrazen.

v teorie čísel, Známův problém ptá se, které sady k celá čísla mají vlastnost, že každé celé číslo v množině je a správný dělitel součinu ostatních celých čísel v množině plus 1. Známova úloha je pojmenována po slovenském matematikovi Štefan Znám, který to navrhl v roce 1972, ačkoli jiní matematici uvažovali o podobných problémech přibližně ve stejnou dobu. Jeden úzce související problém upouští od předpokladu správnosti dělitele a bude se dále nazývat nesprávným Známovým problémem.

Jedno řešení nevhodného problému Znám je snadno poskytnuto každému k: první k podmínky Sylvestrova sekvence mít požadovanou vlastnost. Slunce (1983) ukázal, že pro každé existuje alespoň jedno řešení (správného) problému Znám k ≥ 5. Řešení Sunu je založeno na opakování podobném Sylvestrově posloupnosti, ale s jinou sadou počátečních hodnot.

Problém Znám úzce souvisí s Egyptské zlomky. Je známo, že existuje jen konečně mnoho řešení pro jakékoli pevné k. Není známo, zda existují nějaká řešení Známova problému pouze s použitím lichých čísel, a zůstává několik dalších otevřených otázek.

Problém

Známův problém se ptá, které sady celých čísel mají vlastnost, že každé celé číslo v sadě je a správný dělitel součinu ostatních celých čísel v množině plus 1. To znamená k, jaké množiny celých čísel

${ displaystyle {n_ {1}, ldots, n_ {k} }}$

jsou tam takové, že pro každého i, n_i rozděluje, ale nerovná se

${ displaystyle { Bigl (} prod _ {j neq i} ^ {n} n_ {j} { Bigr)} + ​​1 quad?}$

Úzce související problém se týká množin celých čísel, ve kterých je každé celé číslo v množině dělitelem, ale ne nutně správným dělitelem jednoho plus součin ostatních celých čísel v množině. Zdá se, že tento problém nebyl v literatuře pojmenován a bude označován jako nesprávný problém Znám. Jakékoli řešení problému Znám je také řešením problému nesprávného Známa, ale nemusí to být nutně naopak.

Dějiny

Známův problém je pojmenován po slovenském matematikovi Štefan Znám, který to navrhl v roce 1972. Barbeau (1971) způsobil nesprávný problém Znám k = 3 a Mordell (1973), nezávisle na Znám, našel všechna řešení nevhodného problému pro k ≤ 5. Skula (1975) ukázal, že Známův problém je neřešitelný k <5 a připsal J. Janákovi nalezení řešení {2, 3, 11, 23, 31} pro k = 5.

Příklady

Jedno řešení k = 5 je {2, 3, 7, 47, 395}. To ukáže několik výpočtů

3 × 7 × 47 × 395	+ 1 =	389866,		který je dělitelný, ale nerovný 2,
2 × 7 × 47 × 395	+ 1 =	259911,		který je dělitelný, ale nerovný 3,
2 × 3 × 47 × 395	+ 1 =	111391,		který je dělitelný, ale nerovný 7,
2 × 3 × 7 × 395	+ 1 =	16591,		která je dělitelná, ale nerovná se 47, a
2 × 3 × 7 × 47	+ 1 =	1975,		což je dělitelné, ale nerovné k 395.

Zajímavá „téměř slečna“ pro k = 4 je množina {2, 3, 7, 43}, vytvořená převzetím prvních čtyř termínů Sylvestrovy posloupnosti. Má vlastnost, že každé celé číslo v sadě rozděluje součin ostatních celých čísel v sadě plus 1, ale poslední člen této sady se rovná součinu prvních tří členů plus jeden, místo aby byl správným dělitelem . Jde tedy o řešení nesprávného problému Znám, ale nikoli o řešení problému Znám, jak je obvykle definován.

Spojení s egyptskými frakcemi

Jakékoli řešení nesprávného problému Znám je ekvivalentní (dělením produktem X_i's) k řešení rovnice

${ displaystyle sum { frac {1} {x_ {i}}} + prod { frac {1} {x_ {i}}} = y,}$

kde y stejně jako každý X_i musí být celé číslo a naopak jakékoli takové řešení odpovídá řešení nesprávného problému Znám. Všechna známá řešení však mají y = 1, takže splňují rovnici

${ displaystyle sum { frac {1} {x_ {i}}} + prod { frac {1} {x_ {i}}} = 1.}$

To znamená, že vedou k Egyptská část reprezentace jedničky jako součet jednotkové zlomky. Několik citovaných článků o Známově problémové studii také o řešení této rovnice. Brenton & Hill (1988) popsat aplikaci rovnice v topologie, ke klasifikaci singularity na površích a Domaratzki a kol. (2005) popsat aplikaci na teorii nedeterministické konečné automaty.

Počet řešení

Tak jako Janák a Skula (1978) ukázal počet řešení pro všechny k je konečný, takže má smysl počítat celkový počet řešení pro každé z nich k.

Brenton a Vasiliu vypočítali, že počet řešení pro malé hodnoty k, začínání s k = 5, tvoří posloupnost

2, 5, 18, 96 (sekvence A075441 v OEIS ).

V současné době je známo několik řešení k = 9 a k = 10, ale není jasné, kolik řešení pro tyto hodnoty zůstává neobjeveno kExistuje však nekonečně mnoho řešení, pokud k není opraveno:Cao & Jing (1998) ukázal, že pro každé existuje nejméně 39 řešení k ≥ 12, zlepšení dřívějších výsledků dokazujících existenci méně řešení (Cao, Liu & Zhang 1987, Sun & Cao 1988 ). Sun & Cao (1988) domněnka, že počet řešení pro každou hodnotu k roste monotónně s k.

Není známo, zda existují nějaká řešení Známova problému s použitím pouze lichých čísel. Až na jednu výjimku začínají všechna známá řešení 2. Pokud jsou všechna čísla v řešení problému Znám nebo nesprávného problému Znám primární, jejich produkt je a primární pseudoperfektní číslo (Butske, Jaje a Mayernik 2000 ); není známo, zda existuje nekonečně mnoho řešení tohoto typu.

Reference

externí odkazy

• Primefan, Řešení problému Znám
• Weisstein, Eric W., „Známův problém“, MathWorld