Divoké číslo - Wild number

Původně, divoká čísla jsou čísla, která mají patřit k fiktivní posloupnosti čísel, která si lze představit, že existují v matematickém světě matematické fikce Divoká čísla autor Philibert Schogt, a holandský filozof a matematik.^[1] Přestože Schogt ve svém románu definoval sekvenci divokých čísel, je záměrně nepřesným jazykem formulován tak, že se tato definice vůbec nevyskytuje. Autor však tvrdí, že prvních pár členů sekvence je 11, 67, 2, 4769, 67. Později, inspirovaný tímto divokým a nepravidelným chováním fiktivních divokých čísel, americký matematik JC Lagarias použil terminologii k popisu přesně definovaná posloupnost celých čísel, která vykazuje poněkud podobné divoké a nepravidelné chování. Divoká čísla Lagaria jsou spojena s Collatz dohad a koncept 3X + 1 poloskupina.^[2][3] Původní fiktivní sekvence divokých čísel si našla místo v On-line encyklopedie celočíselných sekvencí.^[4]

Problém s divokým číslem

V románu Divoká čísla„Problém s divokým číslem je formulován takto:

• Beauregard definoval řadu klamně jednoduchých operací, které po použití na celé číslo zpočátku vedly k zlomkům. Pokud se však stejné kroky opakovaly dostatečně často, konečným výsledkem bylo opět celé číslo. Nebo, jak Beauregard vesele poznamenal: „Ve všech číslech číhá divoké číslo, které se zaručeně objeví, když je provokujete dostatečně dlouho.“ 0 přineslo divoké číslo 11, 1 vynesl 67, 2 sám, 3 se najednou projevil jako 4769, 4 překvapivě vynesl 67 znovu. Samotný Beauregard našel padesát různých divokých čísel. Peněžní odměna byla nyní udělena každému, kdo našel novou.^[5]

Nebylo však upřesněno, co jsou tyto „klamně jednoduché operace“. V důsledku toho neexistuje způsob, jak zjistit, jak byla tato čísla 11, 67 atd. Získána, a neexistuje způsob, jak zjistit, jaké bude další divoké číslo.

Historie problému divokého čísla

Román Divoká čísla vytvořila fiktivní historii pro The Wild Number Problem. Důležité milníky v této historii lze shrnout následovně.

Skutečná divoká čísla

V matematice multiplikativní semigroup, označený Ž₀vygenerovaný sadou ${ displaystyle left {{ frac {3n + 2} {2n + 1}}: n geq 0 right }}$ se nazývá Wooleyova poloskupina na počest amerického matematika Trevora D. Wooleyho. Multiplikativní poloskupina, označená Žvygenerovaný sadou ${ displaystyle left {{ frac {1} {2}} right } cup left {{ frac {3n + 2} {2n + 1}}: n geq 0 right } }$ se nazývá divoká poloskupina. Sada celých čísel v Ž₀ je sama o sobě multiplikativní poloskupinou. Říká se tomu Wooleyova celočíselná poloskupina a členové této poloskupiny se nazývají Wooley celá čísla. Podobně sada celých čísel v Ž je sama o sobě multiplikativní poloskupinou. Říká se tomu divoká celočíselná poloskupina a členům této poloskupiny se říká divoká čísla.^[6]

Divoká čísla v OEIS

The On-line encyklopedie celočíselných sekvencí (OEIS) má záznam s identifikačním číslem A058883 týkající se divokých čísel. Podle OEIS „jsou to zjevně zcela smyšlené a neexistuje žádné matematické vysvětlení“. OEIS má však některé položky týkající se pseudodivokých čísel nesoucích přesně definované matematické vysvětlení.^[4]

Sekvence pseudo-divokých čísel

I když je sekvence divokých čísel zcela fiktivní, několik matematiků se pokusilo najít pravidla, která by generovala sekvenci fiktivních divokých čísel. Všechny tyto pokusy vyústily v selhání. V procesu však byly vytvořeny určité nové sekvence celých čísel, které mají podobné divoké a nevyzpytatelné chování. Tyto dobře definované sekvence se označují jako sekvence pseudodivokých čísel. Dobrým příkladem toho je holandský matematik Floor van Lamoen. Tato posloupnost je definována takto:^[7][8]

Pro racionální číslo p/q nechat

${ displaystyle f (p / q) = { frac {pq} {{ text {součet číslic}} p { text {and}} q}}}$.

Pro kladné celé číslo n, n-th pseudo-wild number je číslo získané iterací F, počínaje od n/ 1, dokud není dosaženo celého čísla, a pokud není dosaženo celého čísla, pseudo-divoké číslo je 0.

Například brát n= 2, máme

${ displaystyle { frac {2} {1}}, { frac {2} {3}}, { frac {6} {5}}, { frac {30} {11}}, { frac {330} {5}}, 66}$

a tak druhé pseudo-divoké číslo je 66. Prvních několik pseudo-divokých čísel je

66, 66, 462, 180, 66, 31395, 714, 72, 9, 5.

Reference