Wahbasův problém - Wahbas problem - Wikipedia

v aplikovaná matematika, Wahbův problém, nejprve představoval Grace Wahba v roce 1965 se snaží najít a rotační matice (speciální ortogonální matice ) mezi dvěma souřadnicovými systémy ze sady (vážených) vektorových pozorování. Řešení Wahbova problému se často používají v satelit stanovení postoje využívající senzory jako magnetometry a více antén GPS přijímače. Funkce nákladů, kterou se Wahbův problém snaží minimalizovat, je následující:

{ displaystyle J ( mathbf {R}) = { frac {1} {2}} součet _ {k = 1} ^ {N} a_ {k} | mathbf {w} _ {k} - mathbf {R} mathbf {v} _ {k} | ^ {2}}

pro

{ displaystyle N geq 2}

kde ${ displaystyle mathbf {w} _ {k}}$ je k-té 3-vektorové měření v referenčním rámci, ${ displaystyle mathbf {v} _ {k}}$ je odpovídající k-té 3-vektorové měření v rámu těla a ${ displaystyle mathbf {R}}$ je rotační matice 3 ku 3 mezi souřadnicovými snímky.^[1] ${ displaystyle a_ {k}}$ je volitelná sada závaží pro každé pozorování.

V literatuře se objevila řada řešení problému, zejména Davenportova q-metoda^[2], QUEST a rozklad singulární hodnoty metody založené na metodách. Toto je alternativní formulace Problém ortogonálních prokrustů (zvažte všechny vektory vynásobené druhou odmocninou odpovídajících vah jako sloupce dvou matic s N sloupce pro získání alternativní formulace).

Markley a Mortari diskutují o několika metodách řešení Wahbova problému.

Řešení rozkladem singulární hodnoty

Jedno řešení lze najít pomocí a rozklad singulární hodnoty.

1. Získejte matici ${ displaystyle mathbf {B}}$ jak následuje:

${ displaystyle mathbf {B} = součet _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} mathbf {w} _ {i} { mathbf {v} _ {i}} ^ {T}}$

2. Najděte rozklad singulární hodnoty z ${ displaystyle mathbf {B}}$

${ displaystyle mathbf {B} = mathbf {U} mathbf {S} mathbf {V} ^ {T}}$

3. Rotační matice je jednoduše:

${ displaystyle mathbf {R} = mathbf {U} mathbf {M} mathbf {V} ^ {T}}$

kde ${ displaystyle mathbf {M} = operatorname {diag} ({ begin {bmatrix} 1 & 1 & det ( mathbf {U}) det ( mathbf {V}) end {bmatrix}})}$

Poznámky

^ Rotace ${ displaystyle mathbf {R}}$ v definici problému transformuje rámec těla na referenční rámec. Většina publikací definuje rotaci v opačném směru, tj. Od odkazu na rám těla, který činí ${ displaystyle mathbf {R} ^ {T}}$ .
^ „Davenportova Q-metoda (Hledání orientace odpovídající sadě vzorků bodů)“. Matematická výměna zásobníků. Citováno 2020-07-23.

Reference

Wahba, G. Problém 65–1: Odhad nejmenších čtverců polohy satelitu, SIAM Review, 1965, 7 (3), 409
Shuster, M. D. a Oh, S. D. Stanovení polohy ve třech osách z vektorových pozorování, Journal of Guidance and Control, 1981, 4 (1): 70–77.
Markley, F. L. a Crassidis, J. L. Základy určování a kontroly postojů kosmických lodí, Springer 2014
Markley, F. L. Stanovení postoje pomocí vektorových pozorování a rozkladu singulární hodnoty, Journal of the Astronautical Sciences, 1988, 38: 245-258
Markley, F. L. a Mortari, D. Odhad postojů čtveřice pomocí vektorových pozorování, Journal of the Astronautical Sciences, 2000, 48 (2): 359-380
Lourakis, M. a Terzakis, G. Efektivní absolutní orientace byla znovu navštívena, IEEE / RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems (IROS), 2018, str. 5813-5818.

Viz také

[1] Rotace ${ displaystyle mathbf {R}}$ v definici problému transformuje rámec těla na referenční rámec. Většina publikací definuje rotaci v opačném směru, tj. Od odkazu na rám těla, který činí ${ displaystyle mathbf {R} ^ {T}}$ .

[2] „Davenportova Q-metoda (Hledání orientace odpovídající sadě vzorků bodů)“. Matematická výměna zásobníků. Citováno 2020-07-23.

[1]

[2]