Vantieghemsova věta - Vantieghems theorem

v teorie čísel, Vantieghemsova věta je primitivnost kritérium. Uvádí se v něm, že a přirozené číslo n je primární kdyby a jen kdyby

${displaystyle prod _ {1leq kleq n-1} left (2 ^ {k} -1ight) equiv nmod left (2 ^ {n} -1ight).}$

Podobně, n je prime, právě když následující shoda pro polynomy v X drží:

${displaystyle prod _ {1leq kleq n-1} left (X ^ {k} -1ight) equiv n-left (X ^ {n} -1ight) / left (X-1ight) mod left (X ^ {n} - 1 světlo)}$

nebo:

${displaystyle prod _ {1leq kleq n-1} left (X ^ {k} -1ight) equiv nmod left (X ^ {n} -1ight) / left (X-1ight).}$

Příklad

Nechť n = 7 tvořící produkt 1 * 3 * 7 * 15 * 31 * 63 = 615195. 615195 = 7 mod 127 a tak 7 je prvočíslo
Nechť n = 9 tvořící produkt 1 * 3 * 7 * 15 * 31 * 63 * 127 * 255 = 19923090075. 19923090075 = 301 mod 511 a tak 9 je složený

Reference

• Kilford, L.J.P. (2004). "Zevšeobecnění nezbytné a dostatečné podmínky pro primitivitu kvůli Vantieghemu." Int. J. Math. Matematika. Sci. (69–72): 3889–3892. arXiv:matematika / 0402128. Bibcode:2004math ...... 2128 tis. Zbl  1126.11307.. Článek s důkazem a zevšeobecněním.
• Vantieghem, E. (1991). "Na kongruenci, která se drží pouze na prvočísla". Indag. Math., New Ser. 2 (2): 253–255. Zbl  0734.11003.