Dvourozměrný rozklad singulární hodnoty - Two-dimensional singular-value decomposition

Dvourozměrný rozklad singulární hodnoty (2DSVD) počítá aproximace nízkého stupně sady matic, jako je 2D obrázky nebo mapy počasí podobným způsobem jako SVD (rozklad singulární hodnoty ), který vypočítává aproximaci nízké úrovně jedné matice (nebo sady 1D vektory).

SVD

Nechť matice ${displaystyle X = (x_ {1}, ldots, x_ {n})}$ obsahuje sadu 1D vektorů, které byly vycentrovány. V PCA / SVD konstruujeme kovarianční matici ${displaystyle F}$a Gramova matice ${displaystyle G}$

${displaystyle F = XX ^ {T}}$ , ${displaystyle G = X ^ {T} X,}$

a spočítat jejich vlastní vektory ${displaystyle U = (u_ {1}, ldots, u_ {n})}$ a ${displaystyle V = (v_ {1}, ldots, v_ {n})}$. Od té doby ${displaystyle VV ^ {T} = I, UU ^ {T} = I}$, my máme

${displaystyle X = UU ^ {T} XVV ^ {T} = U (U ^ {T} XV) V ^ {T} = USigma V ^ {T}.}$

Pokud si ponecháme pouze ${displaystyle K}$ hlavní vlastní vektory v ${displaystyle U, V}$, to dává aproximaci nízkého stupně ${displaystyle X}$.

2DSVD

Zde se zabýváme sadou 2D matic ${displaystyle (X_ {1}, ldots, X_ {n})}$Předpokládejme, že jsou vystředěny ${displaystyle sum _ {i} X_ {i} = 0}$. Konstruujeme kovarianční matice řádek – řádek a sloupec – sloupec

${displaystyle F = součet _ {i} X_ {i} X_ {i} ^ {T}}$ , ${displaystyle G = součet _ {i} X_ {i} ^ {T} X_ {i}}$

přesně stejným způsobem jako v SVD a spočítat jejich vlastní vektory ${displaystyle U}$ a ${displaystyle V}$.Přibližujeme se ${displaystyle X_ {i}}$ tak jako

${displaystyle X_ {i} = UU ^ {T} X_ {i} VV ^ {T} = U (U ^ {T} X_ {i} V) V ^ {T} = UM_ {i} V ^ {T} }$

stejným způsobem jako v SVD. To dává téměř optimální aproximaci nízkého řádu ${displaystyle (X_ {1}, ldots, X_ {n})}$s objektivní funkcí

${displaystyle J = součet _ {i} | X_ {i} -LM_ {i} R ^ {T} | ^ {2}}$

Chybné hranice podobné Eckard – Youngova věta také existují.

2DSVD se většinou používá v komprese obrazu a reprezentace.

Reference

• Chris Ding a Jieping Ye. "Dvourozměrný rozklad singulární hodnoty (2DSVD) pro 2D mapy a obrázky". Proc. SIAM Int'l Conf. Dolování dat (SDM'05), s. 32–43, duben 2005. http://ranger.uta.edu/~chqding/papers/2dsvdSDM05.pdf
• Jieping Ye. "Zobecněné aproximace matic s nízkým hodnocením". Deník strojového učení. Sv. 61, s. 167—191, 2005.