Trilineární polarita - Trilinear polarity - Wikipedia

v geometrie, trilineární polarita je určitá korespondence mezi body v rovině trojúhelníku neležícími po stranách trojúhelníku a liniemi v rovině trojúhelníku, které neprocházejí vrcholy trojúhelníku. „I když se tomu říká polarita, ve skutečnosti to vůbec není polarita, protože póly souběžných linií nejsou kolineární.“[1] to bylo Poncelet (1788–1867), francouzský inženýr a matematik, který v roce 1865 představil myšlenku trilineární polární bodu.[1][2]

Definice

Diagram ilustrující definici trilineárního poláru bodu.

Nechat ABC být rovinný trojúhelník a nechat P být libovolný bod v rovině trojúhelníku, který neleže na stranách trojúhelníku. Stručně, trilineární polární z P je osa perspektivity z cevianský trojúhelník z P a trojúhelník ABC.

Podrobně nechte linku AP, BP, CP splnit postranní čáry před naším letopočtem, CA, AB na D, E, F resp. Trojúhelník DEF je cevianský trojúhelník z P s odkazem na trojúhelník ABC. Nechte páry řádků (před naším letopočtem, EF), (CA, FD), (DE, AB) protínají v X, Y, Z resp. Podle Desarguesova věta body X, Y, Z jsou kolineární. Přímka kolineárnosti je osou perspektivity trojúhelníku ABC a trojúhelník DEF. Linie XYZ je trilineární polární bod P.[1]

Body X, Y, Z lze také získat jako harmonické konjugáty z D, E, F s ohledem na dvojice bodů (B,C), (C, A), (A, B). Poncelet použil tuto myšlenku k definování pojmu trilineární poláry.[1]

Pokud linka L je trilineární polární bod P vzhledem k referenčnímu trojúhelníku ABC pak P se nazývá trilineární tyč linky L vzhledem k referenčnímu trojúhelníku ABC.

Trilineární rovnice

Nechte trilineární souřadnice bodu P být (p : q : r). Pak trilineární rovnice trilineární polární P je[3]

X / p + y / q + z / r = 0.

Konstrukce trilineárního pólu

Schéma ilustrující konstrukci trilineárního pólu dané čáry XYZ

Nechte linku L setkat se se stranami před naším letopočtem, CA, AB trojúhelníku ABC na X, Y, Z resp. Nechte páry čar (PODLE, CZ), (CZ, SEKERA), (SEKERA, PODLE) setkat se v U, PROTI, Ž. Trojúhelníky ABC a UVW jsou v perspektivě a nechají se P být střed perspektivy. P je trilineární pól vedení L.

Některé trilineární poláry

Některé z trilineárních pólů jsou dobře známy.[4]

Póly tužek čar

Animace ilustrující skutečnost, že místo trilineárních pólů tužky čar procházejících pevným bodem K je cirkumkonik referenčního trojúhelníku.

Nechat P s trilineárními souřadnicemi ( X : Y : Z ) být pólem přímky procházející pevným bodem K. s trilineárními souřadnicemi ( X0 : y0 : z0 ). Rovnice přímky je

  • X / X + y / Y + z / Z =0.

Protože to prochází K.,

  • X0 / X + y0 / Y + z0 / Z =0.

Tedy místo P je

  • X0 / X + y0 / y + z0 / z =0.

Toto je cirkumkonik referenčního trojúhelníku ABC. Lokus pólů tužky čar procházejících pevným bodem je tedy cirkumkonický vztažného trojúhelníku.

Reference

  1. ^ A b C d Coxeter, H.S.M. (1993). Skutečná projektivní rovina. Springer. 102–103. ISBN  9780387978895.
  2. ^ Coxeter, H.S.M. (2003). Projektivní geometrie. Springer. str.29. ISBN  9780387406237.
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Trilineární polární". MathWorld - webový zdroj Wolfram. Citováno 31. července 2012.
  4. ^ Weisstein, Eric W. "Trilineární pól". MathWorld - webový zdroj Wolfram. Citováno 8. srpna 2012.

externí odkazy