Model Ising v příčném poli - Transverse-field Ising model

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Model Ising v příčném poli“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Leden 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

The model příčného pole Ising je kvantová verze klasiky Isingův model. Má mřížku s interakcemi nejbližších sousedů určenou zarovnáním nebo anti-zarovnáním spinových projekcí podél ${ displaystyle z}$ osy, stejně jako vnější magnetické pole kolmé na ${ displaystyle z}$ osa (bez ztráty obecnosti, podél ${ displaystyle x}$ osa), která vytváří energetické předpětí pro jeden směr otáčení v ose x nad druhým.

Důležitým rysem tohoto nastavení je, že v kvantovém smyslu je rotační projekce podél ${ displaystyle x}$ osa a projekce rotace podél ${ displaystyle z}$ osy nedojíždějí k pozorovatelným množstvím. To znamená, že je nelze pozorovat současně. To znamená, že klasická statistická mechanika nemůže tento model popsat a je zapotřebí kvantové zpracování.

Konkrétně má model následující kvantum Hamiltonian:

${ displaystyle H = -J ( součet _ { langle i, j rangle} Z_ {i} Z_ {j} + g součet _ {j} X_ {j})}$

Zde se dolní indexy vztahují k mřížkovým místům a součtu ${ displaystyle sum _ { langle i, j rangle}}$ se provádí přes dvojice stránek nejbližších sousedů ${ displaystyle i}$ a ${ displaystyle j}$. ${ displaystyle X_ {j}}$ a ${ displaystyle Z_ {j}}$ jsou reprezentace prvků spinové algebry (Pauliho matice, v případě spin 1/2) působících na proměnné spin odpovídajících míst. Vzájemně dojíždějí, pokud jsou na stejném webu, a dojíždějí mezi sebou, pokud jsou na různých webech. ${ displaystyle J}$ je prefaktor s rozměry energie a ${ displaystyle g}$ je další vazební koeficient, který určuje relativní sílu vnějšího pole ve srovnání s interakcí nejbližšího souseda.

Fáze modelu Ising 1D příčného pole

Níže je diskuse omezena na jednorozměrný případ, kdy každé mřížové místo je dvourozměrný komplex Hilbertův prostor (tj. to představuje spin 1/2 částice). Pro jednoduchost zde ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Z}$ jsou normalizovány tak, aby každý měl determinant -1. Hamiltonian má a ${ displaystyle mathbb {Z} _ {2}}$ skupina symetrie, protože je invariantní za jednotné operace převrácení všech otočení v ${ displaystyle z}$ směr. Přesněji řečeno, transformace symetrie je dána unitární ${ displaystyle prod _ {j} X_ {j}}$.

1D model připouští dvě fáze v závislosti na tom, zda základní stav (konkrétně v případě degenerace základní stav, který není makroskopicky zapletený) rozbije nebo zachová výše uvedené ${ displaystyle prod _ {j} X_ {j}}$ spin-flip symetrie. Znamení ${ displaystyle J}$ nemá vliv na dynamiku, protože systém s pozitivní ${ displaystyle J}$ lze namapovat do systému s negativem ${ displaystyle J}$ provedením a ${ displaystyle pi}$ rotace kolem ${ displaystyle X_ {j}}$ pro každý druhý web ${ displaystyle j}$.

Model lze přesně vyřešit pro všechny vazebné konstanty. Pokud však jde o točení na místě, řešení je obecně velmi nepohodlné výslovně zapisovat, pokud jde o proměnné rotace. Je pohodlnější psát řešení explicitně, pokud jde o fermionické proměnné definované pomocí Jordan-Wignerova transformace, v takovém případě mají excitované stavy jednoduchý popis kvazičástice nebo kvazihole.

Nařízená fáze

Když ${ displaystyle | g | <1}$, systém se říká, že je v objednané fázi. V této fázi prolomí základní stav spin-flip symetrii. Základní stav je tedy ve skutečnosti dvojnásobně zdegenerovaný. Pro ${ displaystyle J> 0}$ tato fáze vykazuje feromagnetický objednávání, zatímco pro ${ displaystyle J <0}$ antiferomagnetický objednávka existuje.

Přesně, pokud ${ displaystyle | psi _ {1} rangle}$ je tedy základní stav Hamiltonianů ${ displaystyle | psi _ {2} rangle equiv prod _ {j} X_ {j} | psi _ {1} rangle neq | psi _ {1} rangle}$ je také základní stav a společně ${ displaystyle | psi _ {1} rangle}$ a ${ displaystyle | psi _ {2} rangle}$ překlenout zdegenerovaný prostor základního stavu. Jako jednoduchý příklad, kdy ${ displaystyle g = 0}$ a ${ displaystyle J> 0}$, základní stavy jsou ${ displaystyle | ldots uparrow uparrow uparrow ldots rangle}$ a ${ displaystyle | ldots downarrow downarrow downarrow ldots rangle}$, tj. se všemi otočeními zarovnanými podél ${ displaystyle z}$ osa.

Toto je fáze s mezerami, což znamená, že nejnižší excitovaný stav (stavy) mají energii vyšší než energie základního stavu o nenulové množství (nezanikající v termodynamickém limitu). Zejména je to energetická mezera ${ displaystyle 2 | J | (1- | g |)}$.^[1]

Neuspořádaná fáze

Naproti tomu, když ${ displaystyle | g |> 1}$, systém se říká, že je v neuspořádané fázi. Základní stav zachovává spin-flip symetrii a je nedgenerativní. Jako jednoduchý příklad, kdy ${ displaystyle g}$ je nekonečno, základní stav je ${ displaystyle | ldots rightarrow rightarrow rightarrow ldots rangle}$, to je s rotací v ${ displaystyle + x}$ směr na každém webu.

To je také mezera fáze. Energetická mezera je ${ displaystyle 2 | J | (| g | -1)}$

Fázová fáze

Když ${ displaystyle | g | = 1}$, systém prochází kvantovým fázovým přechodem. Při této hodnotě ${ displaystyle g}$, systém má buzení bez mezer a jeho nízkoenergetické chování popisuje dvourozměrná teorie konformního pole Ising. Tato konformní teorie má centrální náboj ${ displaystyle c = 1/2}$, a je nejjednodušší z unitárních minimální modely s centrálním nábojem menším než 1. Kromě operátora identity má teorie dvě primární pole, jedno s měřítkovými rozměry ${ displaystyle (1 / 16,1 / 16)}$ a další s měřítkovými rozměry ${ displaystyle (1 / 2,1 / 2)}$.^[2]

Jordan-Wignerova transformace

Je možné přepsat proměnné rotace jako fermionové proměnné pomocí vysoce nelokální transformace známé jako Jordan-Wignerova transformace.^[3]

Provozovatel vytváření fermionů na místě ${ displaystyle j}$ lze definovat jako ${ displaystyle c_ {j} ^ { dagger} = { frac {1} {2}} (Z_ {j} + iY_ {j}) prod _ {k$. Potom lze příčné pole Ising Hamiltonian (za předpokladu nekonečného řetězce a ignorování hraničních efektů) vyjádřit zcela jako součet místních kvadratických výrazů obsahujících operátory vytvoření a zničení.

${ displaystyle H = -J součet _ {j} (c_ {j} ^ { dagger} c_ {j + 1} + c_ {j + 1} ^ { dagger} c_ {j} + c_ {j} ^ { dagger} c_ {j + 1} ^ { dagger} + c_ {j + 1} c_ {j} -2g (c_ {j} ^ { dagger} c_ {j} -1/2))}$

Tento Hamiltonián nedokáže zachovat celkový počet fermionů a nemá přidružené ${ displaystyle U (1)}$ globální kontinuální symetrie, kvůli přítomnosti ${ displaystyle c_ {j} ^ { dagger} c_ {j + 1} ^ { dagger} + c_ {j + 1} c_ {j}}$ období. Zachovává však fermionovou paritu. To znamená, že Hamiltonian dojíždí s kvantovým operátorem, který udává, zda je celkový počet fermionů sudý nebo lichý, a tato parita se v průběhu času systému nezmění. Hamiltonián je matematicky identický s supravodičem ve středním poli Bogoliubovova deGennesova formalizmu a lze jej zcela pochopit stejným standardním způsobem. Přesné excitační spektrum a vlastní čísla lze určit Fourierovou transformací do prostoru hybnosti a diagonalizací hamiltoniánu. ${ displaystyle a_ {j} = c_ {j} ^ { dagger} + c_ {j}}$ a ${ displaystyle b_ {j} = - i (c_ {j} ^ { dagger} -c_ {j})}$, Hamiltonian má ještě jednodušší podobu,

${ displaystyle H = i součet _ {j} J (a_ {j + 1} b_ {j} + gb_ {j} a_ {j})}$

Kramers-Wannierova dualita

Nelokální mapování Pauliho matic známých jako Kramers-Wannierova transformace duality lze provést následovně:^[4]

Potom, co se týče nově definovaných Pauliho matic s vlnovkami, které se řídí stejnými algebraickými vztahy jako původní Pauliho matice, je Hamiltonian jednoduše ${ displaystyle H = -Jg sum _ {j} ({ tilde {Z}} _ {j} { tilde {Z}} _ {j + 1} + g ^ {- 1} { tilde {X }} _ {j})}$. To znamená, že model s parametrem vazby ${ displaystyle g}$ je dvojí než model s parametrem vazby ${ displaystyle g ^ {- 1}}$, a zavádí dualitu mezi uspořádanou fází a neuspořádanou fází. Pokud jde o majoránské fermiony zmíněné výše, tato dualita se zjevněji projevuje v triviálním rebrandingu ${ displaystyle a_ {j} až b_ {j}, b_ {j} až a_ {j + 1}}$.

Všimněte si, že na hranicích Isingova řetězce jsou nějaké jemné úvahy; v důsledku toho degenerace a ${ displaystyle mathbb {Z} _ {2}}$ vlastnosti symetrie uspořádaných a neuspořádaných fází se mění pod Kramers-Wannierovou dualitou.

Zobecnění

Stav q kvantový Pottsův model a ${ displaystyle Z_ {q}}$ model kvantových hodin jsou zobecnění modelu příčného pole Ising na mřížkové systémy s ${ displaystyle q}$ stavů na web. Příčný model Isingův model představuje případ, kdy ${ displaystyle q = 2}$ .

Klasický Isingův model

Isingův model kvantového příčného pole v ${ displaystyle d}$ rozměry jsou dvojí až anizotropní klasický Isingův model v ${ displaystyle d + 1}$ rozměry.^[5]

Reference