Tichonovova věta (dynamické systémy) - Tikhonovs theorem (dynamical systems) - Wikipedia

V aplikované matematice Tichonovova věta o dynamických systémech je výsledkem stability řešení systémů diferenciální rovnice. Má aplikace pro chemická kinetika.^[1][2] Věta je pojmenována po Andrej Nikolajevič Tichonov.

Prohlášení

Zvažte tento systém diferenciálních rovnic:

${ displaystyle { begin {aligned} { frac {d mathbf {x}} {dt}} & = mathbf {f} ( mathbf {x}, mathbf {z}, t), mu { frac {d mathbf {z}} {dt}} & = mathbf {g} ( mathbf {x}, mathbf {z}, t). end {zarovnáno}}}$

Vezmeme-li limit jako ${ displaystyle mu až 0}$, stává se z toho „zdegenerovaný systém“:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} { frac {d mathbf {x}} {dt}} & = mathbf {f} ( mathbf {x}, mathbf {z}, t), mathbf {z} & = varphi ( mathbf {x}, t), end {zarovnáno}}}$

kde druhá rovnice je řešením algebraické rovnice

${ displaystyle mathbf {g} ( mathbf {x}, mathbf {z}, t) = 0.}$

Pamatujte, že takových funkcí může být více ${ displaystyle varphi}$.

Tichonovova věta uvádí, že jako ${ displaystyle mu až 0,}$ řešení systému dvou diferenciálních rovnic výše se blíží řešení degenerovaného systému, pokud ${ displaystyle mathbf {z} = varphi ( mathbf {x}, t)}$ je stabilním kořenem „sousedního systému“

${ displaystyle { frac {d mathbf {z}} {dt}} = mathbf {g} ( mathbf {x}, mathbf {z}, t).}$

Reference