Tanh-sinhova kvadratura - Tanh-sinh quadrature
Tanh-Sinhova kvadratura je metoda pro numerická integrace představili Hidetosi Takahasi a Masatake Mori v roce 1974.[1] Využívá to hyperbolické funkce v změna proměnných
transformovat integrál na intervalu X ∈ (-1, +1) na integrál v celku skutečná linie t ∈ (−∞, + ∞), dva integrály mají stejnou hodnotu. Po této transformaci se integrand rozpadá na a dvojitý exponenciál rychlost, a proto je tato metoda známá také jako Vzorec s dvojitou exponenciálností (DE).[2]
Pro danou velikost kroku h, je integrál aproximován součtem
s abscisy
a váhy
Metoda Tanh-Sinh je docela necitlivá na chování koncového bodu. Pokud by singularity nebo nekonečné deriváty existovaly v jednom nebo obou koncových bodech intervalu (−1, +1), jsou tyto mapovány na koncové body (−∞, + ∞) transformovaného intervalu, což nutí singularity koncového bodu a nekonečné deriváty zmizet. To má za následek velké zvýšení přesnosti postupu numerické integrace, který se obvykle provádí lichoběžníkovým pravidlem. Ve většině případů transformovaná integrand zobrazuje rychlý roll-off (rozpad), což umožňuje numerickému integrátorovi rychle dosáhnout konvergence.
Jako Gaussova kvadratura, Kvadratura Tanh-Sinh je velmi vhodná pro libovolná přesnost integrace, kde je požadována přesnost stovek nebo dokonce tisíců číslic. The konvergence je exponenciální (ve smyslu diskretizace) pro dostatečně dobře vychovaná celá čísla: zdvojnásobení počtu hodnotících bodů zhruba zdvojnásobí počet správných číslic.
Tanh-Sinhova kvadratura není tak efektivní jako Gaussova kvadratura pro hladké integrandy, ale na rozdíl od gaussovské kvadratury má tendenci pracovat stejně dobře s integrandy, které mají singularity nebo nekonečné deriváty v jednom nebo obou koncových bodech integračního intervalu, jak již bylo uvedeno. Kromě toho lze kvadraturu Tanh-Sinh implementovat progresivním způsobem, přičemž velikost kroku se při každém zvýšení úrovně pravidla sníží na polovinu a opětovné použití hodnot funkcí vypočítaných na předchozích úrovních. Další výhodou je, že úsečky a váhy jsou relativně snadno vypočítatelné. Náklady na výpočet párů úsečka – váha pro n- přesnost číslic je zhruba n2 log2 n ve srovnání s n3 log n pro Gaussovu kvadraturu.
Bailey a další provedli rozsáhlý výzkum na Kvadratuře Tanh-Sinh, Gaussovské kvadratuře a Kvadratuře chybových funkcí a také několika klasických kvadraturních metod a zjistili, že klasické metody nejsou konkurenceschopné s prvními třemi metodami, zvláště když jsou výsledky s vysokou přesností jsou potřeba. V konferenčním příspěvku prezentovaném na RNC5 o reálných číslech a počítačích (září 2003) při srovnání Tanad-Sinhovy kvadratury s Gaussovou kvadraturou a Kvadraturou chybových funkcí Bailey a Li zjistili: „Celkově se Tanh-Sinhovo schéma jeví jako nejlepší. Kombinuje rovnoměrně vynikající přesnost s rychlou dobou chodu. V současné době je to nejblíže skutečně univerzálnímu kvadraturnímu schématu."
Po srovnání schématu s Gaussovou kvadraturou a Chybová funkce kvadratura Bailey a kol. (2005) zjistili, že schéma Tanh-Sinh „se jeví jako nejlepší pro integrandové značky typu, s nimiž se nejčastěji setkáváme v experimentálním matematickém výzkumu“.
Bailey (2006) zjistil, že: „Kvadraturní schéma Tanh-Sinh je nejrychlejší v současnosti známé vysoce přesné kvadraturní schéma, zvláště když se počítá čas pro výpočet úseček a vah. Úspěšně se používá pro kvadraturní výpočty s přesností až 20 000 číslic. “
Stručně řečeno, Tanh-Sinhovo kvadraturní schéma je navrženo tak, aby poskytovalo nejpřesnější výsledek pro minimální počet vyhodnocení funkcí. V praxi je pravidlo Kvadratury Tanh-Sinh téměř vždy nejlepším pravidlem a je často jediným účinným pravidlem, když se hledají výsledky rozšířené přesnosti[Citace je zapotřebí ].
Implementace
Kvadratura Tanh-Sinh, exp-sinh a sinh-sinh je implementována v C ++ Boost knihovny[3]
Kvadratura Tanh-Sinh je implementována v a Excel s podporou maker tabulka od Graeme Dennes.[4]
Poznámky
- ^ Takahasi & Mori (1974)
- ^ Mori (2005)
- ^ Thompson, Nick; Maddock, Johne. „Double-exponential quadrature“. boost.org.
- ^ Dennes, Graeme. „Numerická integrace s kvadraturou Tanh-Sinh“. Newton Excel Bach, ne (jen) blog Excel.
Reference
- Bailey, David H, “Vysoce přesná kvadratura Tanh-Sinh ". (2006).
- Molin, Pascal, Počet integrací a počet výpočtů písma L (francouzsky), disertační práce (2010).
- Bailey, David H, Karthik Jeyabalan a Xiaoye S. Li, "Srovnání tří vysoce přesných kvadraturních schémat ". Experimentální matematika, 14.3 (2005).
- Bailey, David H, Jonathan M. Borwein, David Broadhurst a Wadim Zudlin, Experimentální matematika a matematická fyzika, in Gems in Experimental Mathematics (2010), American Mathematical Society, str. 41–58.
- Jonathan Borwein, David H. Bailey a Roland Girgensohn, Experimentování v matematice - výpočetní cesty k objevu. A K Peters, 2003. ISBN 1-56881-136-5.
- Mori, Masatake; Sugihara, Masaaki (15. ledna 2001). „Dvojitá exponenciální transformace v numerické analýze“. Journal of Computational and Applied Mathematics. 127 (1–2): 287–296. doi:10.1016 / S0377-0427 (00) 00501-X. ISSN 0377-0427.
- Mori, Masatake (2005), „Objev dvojité exponenciální transformace a její vývoj“, Publikace Výzkumného ústavu pro matematické vědy, 41 (4): 897–935, doi:10,2977 / prims / 1145474600, ISSN 0034-5318. Tento dokument je k dispozici také na webu tady.
- Stiskněte, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), „Část 4.5. Kvadraturní proměnná transformace“, Numerické recepty: Umění vědecké práce na počítači (3. vyd.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
- Takahasi, Hidetosi; Mori, Masatake (1974), „Double Exponential Formulas for Numerical Integration“, Publikace Výzkumného ústavu pro matematické vědy, 9 (3): 721–741, doi:10.2977 / prims / 1195192451, ISSN 0034-5318. Tento dokument je k dispozici také na webu tady.
externí odkazy
- Cook, John D, "Dvojitá exponenciální integrace „s zdrojový kód.
- Dennes, Graeme, "Numerická integrace s kvadraturou Tanh-Sinh "Sešit Microsoft Excel obsahující čtrnáct kvadraturních programů, které demonstrují Tanh-Sinh a další kvadraturní metody. Ukazuje neuvěřitelnou rychlost a přesnost zejména metody Tanh-Sinh a obecně metod Double Exponential. Kvadraturní programy se cvičí pomocí široké škály , různorodá škála testovacích integrálů s výsledky. K dispozici je plně otevřený zdrojový kód VBA a dokumentace.