Spitzersův vzorec - Spitzers formula - Wikipedia

v teorie pravděpodobnosti, Spitzerův vzorec nebo Spitzerova identita udává společné rozdělení dílčích součtů a maximálních dílčích součtů ze sbírky náhodných proměnných. Výsledek poprvé publikoval Frank Spitzer v roce 1956.^[1] Vzorec je považován za „odrazový můstek v teorii součtů nezávislých náhodných proměnných“.^[2]

Výrok věty

Nechat X₁, X₂, ... být nezávislé a identicky distribuované náhodné proměnné a definovat dílčí součty S_n = X₁ + X₂ + ... + X_n. Definovat R_n = max (0,S₁,S₂,...,S_n). Pak^[3]

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} phi _ {n} ( alpha, beta) t ^ {n} = exp left [ sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {t ^ {n}} {n}} left (u_ {n} ( alpha) + v_ {n} ( beta) -1 right) right)}$

kde

${ displaystyle { begin {zarovnáno} phi _ {n} ( alpha, beta) & = operatorname {E} ( exp left [i ( alpha R_ {n} + beta (R_ {n } -S_ {n}) right]) u_ {n} ( alpha) & = operatorname {E} ( exp left [i alpha S_ {n} ^ {+} right]) v_ {n} ( beta) & = operatorname {E} ( exp left [i beta S_ {n} ^ {-} right]) end {zarovnáno}}}$

a S^± označuje (|S| ± S)/2.

Důkaz

Jsou známy dva důkazy kvůli Spitzerovi^[1] a Wendel.^[3]

Reference

Tento pravděpodobnost související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.