Somosova sekvence - Somos sequence
v matematika, a Somosova sekvence je posloupnost čísel definovaná jistým relace opakování, popsané níže. Byly objeveny matematikem Michael Somos. Od formy jejich definujícího opakování (která zahrnuje dělení) by se dalo očekávat, že pojmy sekvence budou zlomky, ale přesto mnoho Somosových sekvencí má tu vlastnost, že všichni jejich členové jsou celá čísla.
Rovnice opakování
Pro celé číslo k větší než 1, Somos-k sekvence je definována rovnicí
když k je liché nebo analogickou rovnicí
když k je sudé, spolu s počátečními hodnotami
- Ai = 1 pro i < k.
Pro k = 2 nebo 3, tyto rekurze jsou velmi jednoduché (na pravé straně není žádný doplněk) a definují posloupnost všech (1, 1, 1, 1, 1, 1, ...). V prvním netriviálním případě k = 4, definující rovnice je
zatímco pro k = 5 rovnice je
Tyto rovnice lze přeskupit do podoby a relace opakování, ve kterém je hodnota An na levé straně opakování je definován vzorcem na pravé straně vydělením vzorce An − k. Pro k = 4, tím se získá opakování
zatímco pro k = 5 dává opakování
Zatímco v obvyklé definici Somosových sekvencí jsou hodnoty Ai pro i < k jsou všechny nastaveny na 1, je také možné definovat další sekvence pomocí stejných opakování s různými počátečními hodnotami.
Sekvenční hodnoty
Hodnoty v sekvenci Somos-4 jsou
- 1, 1, 1, 1, 2, 3, 7, 23, 59, 314, 1529, 8209, 83313, 620297, 7869898, ... (sekvence A006720 v OEIS ).
Hodnoty v sekvenci Somos-5 jsou
Hodnoty v sekvenci Somos-6 jsou
Hodnoty v sekvenci Somos-7 jsou
Celistvost
Forma opakování popisujících Somosovy sekvence zahrnuje rozdělení, takže je pravděpodobné, že sekvence definované těmito opakováními budou obsahovat zlomkové hodnoty. Nicméně pro k ≤ 7 obsahují Somosovy sekvence pouze celočíselné hodnoty. Několik matematiků studovalo problém dokazování a vysvětlování této celočíselné vlastnosti Somosových sekvencí; úzce souvisí s kombinatorikou shlukové algebry.[1][2][3]
Pro k ≥ 8 analogicky definované sekvence nakonec obsahují zlomkové hodnoty. Pro k <7, změna počátečních hodnot (ale s použitím stejného relace opakování) má také obvykle za následek zlomkové hodnoty.
Reference
- ^ Malouf, Janice L. (1992), „Celočíselná posloupnost z racionální rekurze“, Diskrétní matematika, 110 (1–3): 257–261, doi:10.1016 / 0012-365X (92) 90714-Q.
- ^ Fomin, Sergey; Zelevinsky, Andrei (2002), „Laurentův fenomén“, Pokroky v aplikované matematice, 28: 119–144, arXiv:math.CO/0104241.
- ^ Carroll, Gabriel D .; Speyer, David E. (2004), „The Cube Recurrence“, Electronic Journal of Combinatorics, 11: R73, arXiv:math.CO/0403417.