Somosova kvadratická opakovací konstanta - Somos quadratic recurrence constant - Wikipedia

v matematika, Somosova kvadratická opakovací konstanta, pojmenoval podle Michael Somos, je číslo

${ displaystyle sigma = { sqrt {1 { sqrt {2 { sqrt {3 cdots}}}}}} = 1 ^ {1/2} ; 2 ^ {1/4} ; 3 ^ {1/8} cdots. ,}$

To lze snadno přepsat do mnohem rychlejší konvergující reprezentace produktu

${ displaystyle sigma = sigma ^ {2} / sigma = left ({ frac {2} {1}} right) ^ {1/2} left ({ frac {3} {2} } right) ^ {1/4} left ({ frac {4} {3}} right) ^ {1/8} left ({ frac {5} {4}} right) ^ { 1/16} cdots,}$

které pak mohou být kompaktně reprezentovány ve formě nekonečných produktů:

${ displaystyle sigma = prod _ {k = 1} ^ { infty} vlevo (1 + { frac {1} {k}} vpravo) ^ { frac {1} {2 ^ {k} }}.}$

Konstanta σ vzniká při studiu asymptotického chování sekvence

${ displaystyle g_ {0} = 1 ,; , g_ {n} = ng_ {n-1} ^ {2}, qquad n> 1, ,}$

s prvními termíny 1, 1, 2, 12, 576, 1658880 ... (sekvence A052129 v OEIS ). U této sekvence lze prokázat asymptotické chování následovně:^[1]

${ displaystyle g_ {n} sim { frac { sigma ^ {2 ^ {n}}} {n + 2 + O ({ frac {1} {n}})}}}}$

Guillera a Sondow poskytují zastoupení, pokud jde o derivát z Lerch transcendentní:

${ displaystyle ln sigma = { frac {-1} {2}} { frac { částečné Phi} { částečné s}} vlevo ({ frac {1} {2}}, 0, 1 vpravo)}$

kde ln je přirozený logaritmus a ${ displaystyle Phi}$(z, s, q) je Lerchův transcendent.

Konečně,

${ displaystyle sigma = 1,661687949633594121296 tečky ;}$ (sekvence A112302 v OEIS ).

Poznámky

Reference

Tento článek týkající se matematiky je pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.