Slepianovo lemma - Slepians lemma - Wikipedia

v teorie pravděpodobnosti, Slepianovo lemma (1962), pojmenovaná po David Slepian, je Gaussova srovnávací nerovnost. Uvádí, že pro gaussovské náhodné proměnné ${ displaystyle X = (X_ {1}, tečky, X_ {n})}$ a ${ displaystyle Y = (Y_ {1}, tečky, Y_ {n})}$ v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ uspokojující ${ displaystyle mathbb {E} [X] = mathbb {E} [Y] = 0}$,

${ displaystyle mathbb {E} [X_ {i} ^ {2}] = mathbb {E} [Y_ {i} ^ {2}]}$, ${ displaystyle i = 1, tečky, n, { text {a}} mathbb {E} [X_ {i} X_ {j}] leq mathbb {E} [Y_ {i} Y_ {j }]}$ pro ${ displaystyle i neq j}$,

následující nerovnost platí pro všechna reálná čísla ${ displaystyle u_ {1}, ..., u_ {n}}$:

${ displaystyle mathbb {P} [ cap _ {i = 1} ^ {n} {X_ {i} leq u_ {i} }] leq mathbb {P} [ cap _ {i = 1} ^ {n} {Y_ {i} leq u_ {i} }]}$,

nebo ekvivalentně

${ displaystyle mathbb {P} [ cup _ {i = 1} ^ {n} {X_ {i}> u_ {i} }] geq mathbb {P} [ cup _ {i = 1 } ^ {n} {Y_ {i}> u_ {i} }]}$.

I když je tento intuitivně zdánlivý výsledek pravdivý pro gaussovské procesy, obecně to neplatí pro jiné náhodné proměnné - dokonce ani pro ty s očekáváním 0.

Jako důsledek, pokud ${ displaystyle (X_ {t}) _ {t geq 0}}$ je soustředěný stacionární Gaussův proces takový ${ displaystyle mathbb {E} [X_ {0} X_ {t}] geq 0}$ pro všechny ${ displaystyle t}$, platí pro jakékoli reálné číslo ${ displaystyle c}$ že

${ displaystyle mathbb {P} left [ sup _ {t in [0, T + S]} X_ {t} leq c right] geq mathbb {P} left [ sup _ { t in [0, T]} X_ {t} leq c right] mathbb {P} left [ sup _ {t in [0, S]} X_ {t} leq c right] , quad T, S> 0}$.

Dějiny

Slepianovo lema bylo poprvé prokázáno Slepianem v roce 1962 a od té doby se používá v teorie spolehlivosti, teorie extrémní hodnoty a oblasti čisté pravděpodobnosti. Bylo také znovu prokázáno v několika různých formách.

Reference

• Slepian, D. „Problém s jednostrannou bariérou pro Gaussian Noise“, Bell System Technical Journal (1962), str. 463–501.
• Huffer, F. „Slepianova nerovnost pomocí věty o ústředním limitu“, Canadian Journal of Statistics (1986), str. 367–370.
• Ledoux, M., Talagrand, M. „Pravděpodobnost v Banachových prostorech“, Springer Verlag, Berlín 1991, str. 75.

Tento pravděpodobnost související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.