Sichermanské kostky - Sicherman dice - Wikipedia

Porovnání součtových tabulek normální (N) a Sicherman (S) kostky. Pokud je povolena nula, mají normální kostky jednu variantu (N ') a Sichermanovy kostky mají dvě (S 'a S "). Každá tabulka má 1 dva, 2 trojky, 3 čtyřky atd.

Sichermanské kostky /ˈsɪk.rm.n/ jsou jedinou dvojicí šestistran kostky to nejsou normální kostky, jen medvěd kladná celá čísla, a mít stejné rozdělení pravděpodobnosti pro součet jako normální kostky.

Tváře na kostkách jsou očíslovány 1, 2, 2, 3, 3, 4 a 1, 3, 4, 5, 6, 8.

Matematika

Standardní cvičení v elementární kombinatorice je spočítat počet způsobů převrácení dané hodnoty pomocí dvojice spravedlivých šestistran kostky (tím, že součet ze dvou rolí). Tabulka ukazuje počet takových způsobů převrácení dané hodnoty ${ displaystyle n}$ :

n	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
# způsobů	1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1

Šílené kostky je matematický cvičení v elementárním kombinatorika, zahrnující nové označení tváří dvojice šestistranných kostek pro reprodukci stejné frekvence částky jako standardní označení. Sichermanské kostky jsou bláznivé kostky, které jsou přelepeny pouze kladná celá čísla. (Pokud celá čísla nemusí být kladná, lze pro získání stejného rozdělení pravděpodobnosti snížit počet na každé straně jedné kostky o k a to u druhé kostky se zvýšilo o k, pro jakékoli přirozené číslo k, dávat nekonečná řešení.)

V tabulce níže jsou uvedeny všechny možné součty hodů kostkami se standardními kostkami a kostkami Sicherman. Jedna Sichermanova kostka je kvůli jasnosti vybarvena: 1–2–2–3–3–4a druhá je celá černá, 1–3–4–5–6–8.

	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Standardní kostky	1+1	1+2 2+1	1+3 2+2 3+1	1+4 2+3 3+2 4+1	1+5 2+4 3+3 4+2 5+1	1+6 2+5 3+4 4+3 5+2 6+1	2+6 3+5 4+4 5+3 6+2	3+6 4+5 5+4 6+3	4+6 5+5 6+4	5+6 6+5	6+6
Sichermanské kostky	1+1	2+1 2+1	1+3 3+1 3+1	1+4 2+3 2+3 4+1	1+5 2+4 2+4 3+3 3+3	1+6 2+5 2+5 3+4 3+4 4+3	2+6 2+6 3+5 3+5 4+4	1+8 3+6 3+6 4+5	2+8 2+8 4+6	3+8 3+8	4+8

Dějiny

Sichermanské kostky objevil George Sicherman z Buffalo, New York a byly původně hlášeny uživatelem Martin Gardner v článku z roku 1978 v Scientific American.

Čísla lze uspořádat tak, aby se všechny dvojice čísel na opačných stranách shodovaly na stejných číslech, 5 pro první a 9 pro druhou.

Později Gardner v dopise Sichermanovi zmínil, že kouzelník, kterého znal, očekával Sichermanův objev. Zevšeobecnění kostek Sicherman na více než dvě kostky a kostky jiné než kostky viz Broline (1979), Gallian a Rusin (1979), Brunson and Swift (1997/1998) a Fowler and Swift (1999).

Matematické odůvodnění

Nechť kanonický n-stranný zemřít být n-hedron jejichž tváře jsou označeny celými čísly [1, n], takže pravděpodobnost házení každého čísla je 1 /n. Zvažte kanonickou kubickou (šestistrannou) matrici. The generující funkce protože hody takové kostky jsou ${ displaystyle x + x ^ {2} + x ^ {3} + x ^ {4} + x ^ {5} + x ^ {6}}$ . Produkt tohoto polynomu sám o sobě přináší generační funkci pro házení párem kostek: ${ displaystyle x ^ {2} + 2x ^ {3} + 3x ^ {4} + 4x ^ {5} + 5x ^ {6} + 6x ^ {7} + 5x ^ {8} + 4x ^ {9} + 3x ^ {10} + 2x ^ {11} + x ^ {12}}$ . Z teorie cyklotomické polynomy, víme, že

{ displaystyle x ^ {n} -1 = prod _ {d , mid , n} ^ {n} Phi _ {d} (x).}

kde d rozsahy přes dělitele z n a ${ displaystyle Phi _ {d} (x)}$ je d-tý cyklotomický polynom a

{ displaystyle { frac {x ^ {n} -1} {x-1}} = součet _ {i = 0} ^ {n-1} x ^ {i} = 1 + x + cdots + x ^ {n-1}}

.

Proto odvozujeme generující funkci singlu n-stranný kanonický umírá jako bytost

{ displaystyle x + x ^ {2} + cdots + x ^ {n} = { frac {x} {x-1}} prod _ {d , mid , n} ^ {n} Phi _ {d} (x)}

${ displaystyle Phi _ {1} (x) = x-1}$ a je zrušen. Tak faktorizace generující funkce šestistranné kanonické matrice je

{ displaystyle x , Phi _ {2} (x) , Phi _ {3} (x) , Phi _ {6} (x) = x ; (x + 1) ; (x ^ {2} + x + 1) ; (x ^ {2} -x + 1)}

Funkce generování hodů dvěma kostkami je součinem dvou kopií každého z těchto faktorů. Jak je můžeme rozdělit a vytvořit dvě legální kostky, jejichž skvrny nejsou tradičně uspořádány? Tady právní znamená, že koeficienty jsou nezáporné a součet šest, takže každá kostka má šest stran a každá plocha má alespoň jedno místo. (To znamená, že generující funkcí každé matrice musí být polynom p (x) s kladnými koeficienty as p (0) = 0 ap (1) = 6.) Existuje pouze jeden takový oddíl:

{ displaystyle x ; (x + 1) ; (x ^ {2} + x + 1) = x + 2x ^ {2} + 2x ^ {3} + x ^ {4}}

a

{ displaystyle x ; (x + 1) ; (x ^ {2} + x + 1) ; (x ^ {2} -x + 1) ^ {2} = x + x ^ {3} + x ^ {4} + x ^ {5} + x ^ {6} + x ^ {8}}

To nám dává distribuci skvrn na tvářích dvojice kostek Sicherman jako {1,2,2,3,3,4} a {1,3,4,5,6,8}, jak je uvedeno výše.

Tuto techniku lze rozšířit na kostky s libovolným počtem stran.

Reference

Broline, D. (1979), „Přečíslování tváří kostek“, Matematický časopis, Mathematics Magazine, Vol. 52, č. 5, 52 (5): 312–315, doi:10.2307/2689786, JSTOR 2689786

Brunson, B. W .; Swift, Randall J. (1998), „Stejně pravděpodobné částky“, Matematické spektrum, 30 (2): 34–36

Fowler, Brian C .; Swift, Randall J. (1999), „Relabeling dice“, Vysokoškolský matematický deník, The College Mathematics Journal, Vol. 30, č. 3, 30 (3): 204–208, doi:10.2307/2687599, JSTOR 2687599

Gallian, J. A .; Rusin, D. J. (1979), „Cyklomatomické polynomy a nestandardní kostky“, Diskrétní matematika, 27 (3): 245–259, doi:10.1016 / 0012-365X (79) 90161-4, PAN 0541471

Gardner, Martin (1978), "Matematické hry", Scientific American, 238 (2): 19–32, doi:10.1038 / scientificamerican0278-19

Viz také

Dvou kostkový kalendář

externí odkazy

Tento článek včlení materiál od Crazy dice on PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.