Odrůda Scorza - Scorza variety

V matematice, a k-Odrůda Scorza je plynulá projektivní odrůda s maximálním rozměrem mezi těmi, jejichž k–1 secí odrůdy nejsou celý projektivní prostor. Odrůdy Scorza byly zavedeny a klasifikovány Zak  (1993 ), který je pojmenoval Gaetano Scorza. Zvláštní případ odrůd 2-Scorza se někdy nazývá Severi odrůdy, po Francesco Severi.

Klasifikace

Zak to ukázal k-Odrůdy Scorza jsou projektivní odrůdy matic 1. úrovně k jednoduchý Jordan algebry.

Severi odrůdy

Odrůdy Severi jsou non-singulární odrůdy dimenze n (dokonce v PN které lze izomorfně promítnout do nadroviny a uspokojit N=3n/2+2.

  • V roce 1901 Severi ukázal, že jedinou odrůdou Severi n= 2 je Veronese povrch v P5.
  • Jediná odrůda Severi s n= 4 je Vkládání Segre z P2×P2 do P8, nalezený Scorzou v roce 1908.
  • Jediná odrůda Segre s n= 8 je 8-dimenzionální Grassmannian G(1,5) řádků v P5 vloženo do P14, nalezeno John Greenlees Semple v roce 1931.
  • Jediná odrůda Severi s n= 16 je 16rozměrná odrůda E6/Roztočit(10)U(1) v P26 našel Robert Lazarsfeld v roce 1981.

Tyto 4 odrůdy Severi mohou být konstruovány jednotným způsobem, jako oběžné dráhy skupin působících na komplexizaci hermitovských matic 3 x 3 přes čtyři skutečné (možná neasociativní) algebry dělení dimenzí 2k = 1, 2, 4, 8. Tyto reprezentace mají komplexní dimenze 3 (2k+1) = 6, 9, 15 a 27, což dává varianty dimenze 2k+1 = 2, 4, 8, 16 v projektivních prostorech o rozměrech 3 (2k) +2 = 5, 8, 14 a 26.

Zak dokázal, že jediné odrůdy Severi jsou výše uvedené 4, o rozměrech 2, 4, 8, 16.

Reference

  • Hartshorne, Robine (1974), „Odrůdy malé kodimenziony v projektivním prostoru“, Bulletin of the American Mathematical Society, 80 (6): 1017–1032, doi:10.1090 / S0002-9904-1974-13612-8, ISSN  0002-9904, PAN  0384816
  • Zak, F. L. (1981), "Projekce algebraických odrůd", Matematicheskii Sbornik, Novaya Seriya, 116 (158) (4): 593–602, 608, ISSN  0368-8666, PAN  0665860
  • Lazarsfeld, Robert; Van de Ven, Antonius (1984), Témata v geometrii projektivního prostoru Seminář DMV, 4Birkhäuser Verlag, doi:10.1007/978-3-0348-9348-0, ISBN  978-3-7643-1660-0, PAN  0808175
  • Zak, F. L. (1985), "Severi variety", Matematicheskii Sbornik, Novaya Seriya, 126 (168) (1): 115–132, 144, ISSN  0368-8666, PAN  0773432
  • Zak, F. L. (1993), Tangenty a sekansy algebraických odrůd Překlady matematických monografií, 127„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-4585-1, PAN  1234494