Schursův majetek - Schurs property - Wikipedia

v matematika, Schurův majetek, pojmenoval podle Issai Schur, je majetkem společnosti normované prostory to je přesně splněno, pokud slabá konvergence z sekvence znamená konvergenci v normě.

Motivace

Když pracujeme v normovaném prostoru X a máme sekvenci ${ displaystyle (x_ {n})}$ který slabě konverguje k ${ displaystyle x}$, pak vyvstává přirozená otázka. Konverguje posloupnost snad žádanějším způsobem? To znamená, konverguje posloupnost k ${ displaystyle x}$ v normě? Kanonickým příkladem této vlastnosti, který se běžně používá k ilustraci Schurovy vlastnosti, je ${ displaystyle ell _ {1}}$ sekvenční prostor.

Definice

Předpokládejme, že máme normovaný prostor (X, ||·||), ${ displaystyle x}$ libovolný člen X, a ${ displaystyle (x_ {n})}$ libovolná sekvence v prostoru. Říkáme to X má Schurův majetek -li ${ displaystyle (x_ {n})}$ slabě konvergující k ${ displaystyle x}$ to naznačuje ${ displaystyle lim _ {n to infty} Vert x_ {n} -x Vert = 0}$. Jinými slovy, slabé a silné topologie sdílejí stejné konvergentní sekvence. Všimněte si však, že slabé a silné topologie jsou vždy odlišné v nekonečně dimenzionálním prostoru.

název

Tato vlastnost byla pojmenována po matematikovi z počátku 20. století Issai Schur kdo to ukázal ℓ¹ měl výše uvedený majetek ve svém příspěvku z roku 1921.^[1]

Viz také

• Vlastnost Radon-Riesz pro podobnou vlastnost normovaných prostorů
• Schurova věta

Poznámky

Reference

• Megginson, Robert E. (1998), Úvod do teorie Banachova prostoru, New York Berlín Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN  0-387-98431-3