Romanovova věta - Romanovs theorem - Wikipedia

Konkrétně v matematice teorie aditivních čísel, Romanovova věta je matematická věta dokázaná Nikolajem Pavlovičem Romanovem. Uvádí, že vzhledem k pevné základně b, množina čísel, která jsou součtem prvočísla a kladného celočíselného výkonu b má pozitivní nižší asymptotická hustota.

Prohlášení

Romanov původně uvedl, že prokázal tvrzení: „V jedem Intervall (0, x) liegen mehr als ax Zahlen, welche als Summe von einer Primzahl und einer k-ten Potenz einer ganzen Zahl darstellbar sind, wo a eine gewisse positive, Nur von k abhängige Konstante bedeutet "and" In jedem Intervall (0, x) liegen mehr als bx Zahlen, weiche als Summe von einer Primzahl und einer Potenz von a darstellbar sind. Hier ist a eine gegebene ganze Zahl und b eine positive Konstante, welche nur von a abhängt ".^[1] Tyto výroky se překládají do „V každém intervalu ${ displaystyle (0, x)}$ je tam více než ${ displaystyle alpha x}$ čísla, která lze vyjádřit jako součet prvočísla a a k-tá síla celého čísla, kde ${ displaystyle alpha}$ je určitá pozitivní konstanta, na které závisí pouze k"a" V každém intervalu ${ displaystyle (0, x)}$ je tam více než ${ displaystyle beta x}$ čísla, která lze vyjádřit jako součet prvočísla a mocniny A. Tady A je dané celé číslo a ${ displaystyle beta}$ je kladná konstanta, na které záleží pouze ADruhé tvrzení je obecně přijímáno jako Romanovova věta, například v Nathansonově knize.^[2]

Přesně tak ${ displaystyle d (x) = { frac { left vert {n leq x: n = p + 2 ^ {k}, p { textrm {prime,}} k in mathbb { N} } doprava vert} {x}}}$ a nechte ${ displaystyle { underline {d}} = liminf _ {x to infty} d (x)}$, ${ displaystyle { overline {d}} = limsup _ {x to infty} d (x)}$. Pak to tvrdí Romanovova věta ${ displaystyle { underline {d}}> 0}$.^[3]

Dějiny

Alphonse de Polignac napsal v roce 1849, že každé liché číslo větší než 3 lze zapsat jako součet lichého prvočísla a mocniny 2. (Brzy si všiml protipříkladu, konkrétně 959.)^[4] To odpovídá případu ${ displaystyle a = 2}$ v původním prohlášení. Protiklad 959 byl ve skutečnosti také zmíněn v Euler dopis adresovaný uživateli Christian Goldbach,^[5] ale pracovali opačným směrem a snažili se najít lichá čísla, která nelze vyjádřit ve formě.

V roce 1934 Romanov dokázal teorém. Kladná konstanta ${ displaystyle beta}$ uvedeno v případě ${ displaystyle a = 2}$ byl později známý jako Romanovova konstanta.^[6] Různé odhady konstanty, stejně jako ${ displaystyle { overline {d}}}$, byl vyroben. Historie těchto upřesnění je uvedena níže.^[3] Zejména od ${ displaystyle { overline {d}}}$ Ukazuje se, že je menší než 0,5, což znamená, že lichá čísla, která nelze takto vyjádřit, mají pozitivní nižší asymptotickou hustotu.

Vylepšení ${ displaystyle { overline {d}}}$ a ${ displaystyle { podtržení {d}}}$

Rok	Dolní mez ${ displaystyle { podtržení {d}}}$	Horní hranice na ${ displaystyle { overline {d}}}$	Prover	Poznámky
1950		${ displaystyle 0,5-5,06 krát 10 ^ {- 80}}$[A]	Paul Erdős	;[7] První důkaz nekonečně mnoha lichých čísel, která nemají formu ${ displaystyle 2 ^ {k} + p}$ přes explicitní aritmetický postup
2004	0.0868		Chen, Xun	[8]
2006	0.0933	0.49094093[b]	Habsieger, Roblot	;[9] Považuje pouze lichá čísla; není přesné, viz poznámka
2006	0.093626		Pintz	;[6] původně prokázáno 0,9367, ale byla nalezena chyba a oprava by přinesla 0,093626
2010	0.0936275		Habsieger, Sivak-Fischler	[10]
2018	0.107648		Elsholtz, Schlage-Puchta

Zobecnění

Analogické výsledky Romanovovy věty byly prokázány v počet polí Riegel v roce 1961.^[11] V roce 2015 byla věta také prokázána pro polynomy v konečných polích.^[12] Také v roce 2015 došlo k aritmetickému postupu Gaussova celá čísla které nejsou vyjádřitelné jako součet Gaussova prvočísla a mocniny 1 + i je dáno.^[13]

Reference