Markovův řetěz Monte Carlo s reverzním skokem - Reversible-jump Markov chain Monte Carlo

Ve výpočetní statistice reverzní skok Markovův řetěz Monte Carlo je rozšířením standardu Markovský řetězec Monte Carlo (MCMC) metodologie, která umožňuje simulace z zadní distribuce na mezery různé rozměry.^[1]Simulace je tedy možná, i když je počet parametry v Modelka není známo.

Nechat

${displaystyle n_ {m} v N_ {m} = {1,2, ldots, I},}$

být modelem indikátor a ${displaystyle M = igcup _ {n_ {m} = 1} ^ {I} mathbb {R} ^ {d_ {m}}}$ prostor parametrů, jehož počet rozměrů ${displaystyle d_ {m}}$ záleží na modelu ${displaystyle n_ {m}}$. Indikace modelu nemusí být konečný. Stacionární distribuce je společná zadní distribuce ${displaystyle (M, N_ {m})}$ který přebírá hodnoty ${displaystyle (m, n_ {m})}$.

Návrh ${displaystyle m '}$ lze postavit pomocí mapování ${displaystyle g_ {1mm '}}$ z ${displaystyle m}$ a ${displaystyle u}$, kde ${displaystyle u}$ je čerpáno z náhodné komponenty${displaystyle U}$ s hustotou ${displaystyle q}$ na ${displaystyle mathbb {R} ^ {d_ {mm '}}}$. Přechod do stavu ${displaystyle (m ', n_ {m}')}$ lze tedy formulovat jako

${displaystyle (m ', n_ {m}') = (g_ {1mm '} (m, u), n_ {m}'),}$

Funkce

${displaystyle g_ {mm '}: = {Bigg (} (m, u) mapsto {igg (} (m', u ') = {ig (} g_ {1mm'} (m, u), g_ {2mm ' } (m, u) {ig)} {igg)} {Bigg)},}$

musí být jeden na jednoho a rozlišitelné a mají nenulovou podporu:

${displaystyle mathrm {supp} (g_ {mm '}) eq varnothing,}$

takže existuje inverzní funkce

${displaystyle g_ {mm '} ^ {- 1} = g_ {m'm},}$

to je rozlišitelné. Proto ${displaystyle (m, u)}$ a ${displaystyle (m ', u')}$ musí mít stejnou dimenzi, což je případ kritéria dimenze

${displaystyle d_ {m} + d_ {mm '} = d_ {m'} + d_ {m'm},}$

je splněno kde ${displaystyle d_ {mm '}}$ je rozměr ${displaystyle u}$. Toto je známé jako shoda dimenzí.

Li ${displaystyle mathbb {R} ^ {d_ {m}} podmnožina mathbb {R} ^ {d_ {m '}}}$ pak lze podmínku dimenzionální shody snížit na

${displaystyle d_ {m} + d_ {mm '} = d_ {m'},}$

s

${displaystyle (m, u) = g_ {m'm} (m).,}$

Pravděpodobnost přijetí bude dána

${displaystyle a (m, m ') = min vlevo (1, {frac {p_ {m'm} p_ {m'} f_ {m '} (m')} {p_ {mm '} q_ {mm'} (m, u) p_ {m} f_ {m} (m)}} vlevo | det vlevo ({frac {částečné g_ {mm '} (m, u)} {částečné (m, u)}} vpravo) přesně | ight),}$

kde ${displaystyle | cdot |}$ označuje absolutní hodnotu a ${displaystyle p_ {m} f_ {m}}$ je společná zadní pravděpodobnost

${displaystyle p_ {m} f_ {m} = c ^ {- 1} p (y | m, n_ {m}) p (m | n_ {m}) p (n_ {m}) ,,}$

kde ${displaystyle c}$ je normalizační konstanta.

Softwarové balíčky

Pro open source je k dispozici experimentální nástroj RJ-MCMC Hmyz balík.

The Systém pravděpodobnostního programování gen automatizuje výpočet pravděpodobnosti přijetí pro uživatelsky definovaná reverzibilní skoková jádra MCMC jako součást svého Funkce Involution MCMC.

Reference