Resolovaná booleovská algebra - Residuated Boolean algebra
v matematika, a resolovaná booleovská algebra je zbytková mříž jehož mřížová struktura je a Booleova algebra. Mezi příklady patří booleovské algebry s monoidem považovaným za spojku, množina všech formálních jazyků nad danou abecedou phabet pod zřetězením, množina všech binárních vztahů v dané množině X v relačním složení a obecněji v mocenské soustavě jakéhokoli vztahu ekvivalence, opět v relačním složení. Původní žádost byla relační algebry jako konečně axiomatizovaná generalizace příkladu binárních relací, ale existují zajímavé příklady reziduovaných booleovských algeber, které nejsou relačními algebrami, například jazykový příklad.
Definice
A resolovaná booleovská algebra je algebraická struktura (L, ∧, ∨, ¬, 0, 1, •, Já, , /) takové, že
- (i) (L, ∧, ∨, •, Já, , /) je zbytková mříž, a
- ii) (L, ∧, ∨, ¬, 0, 1) je booleovská algebra.
Ekvivalentní podpis vhodnější pro relační algebra aplikace je (L, ∧, ∨, ¬, 0, 1, •, Já, ▷, ◁) kde unární operace X a X▷ jsou překládatelné způsobem De Morganovy zákony přes
- X\y = ¬(X▷¬y), X▷y = ¬(X\¬y),
a duálně /y a ◁y tak jako
- X/y = ¬(¬X◁y), X◁y = ¬(¬X/y),
s reziduačními axiomy v zbytková mříž článek odpovídajícím způsobem reorganizován (nahrazení z od ¬z) číst
- (X▷z)∧y = 0 ⇔ (X•y)∧z = 0 ⇔ (z◁y)∧X = 0
Tento De Morgan dual reformulace je motivována a podrobněji diskutována v části níže o konjugaci.
Vzhledem k tomu, že reziduované mřížky a booleovské algebry lze definovat konečně mnoha rovnicemi, jsou to také resolované booleovské algebry, odkud tvoří konečně axiomatizovatelné odrůda.
Příklady
- Jakákoli booleovská algebra, s množením monoidů • spojkou a oběma zbytky materiální implikace X→y. Ze zbývajících 15 binárních booleovských operací, které lze uvažovat místo konjunkce pro násobení monoidů, pouze pět splňuje požadavek monotónnosti, jmenovitě 0, 1, X, y, a X∨y. Nastavení y = z = 0 v axiomu rezidua y ≤ X\z ⇔ X•y ≤ z, máme 0 ≤ X\0 ⇔ X• 0 ≤ 0, což je zfalšováno převzetím X = 1 kdy X•y = 1, Xnebo X∨y. Dvojí argument pro z/y vylučuje X•y = y. To prostě odchází X•y = 0 (konstantní binární operace nezávislá na X a y), který splňuje téměř všechny axiomy, když jsou zbytky považovány za konstantní provoz X/y = X\y = 1. Axiom, který selže, je X•Já = X = Já•X, pro nedostatek vhodné hodnoty pro Já. Proto je konjunkce jedinou binární booleovskou operací, která činí multiplikaci monoidů multiplikací reziduované booleovské algebry.
- Napájecí sada 2X² vytvořil booleovskou algebru jako obvykle s ∩, ∪ a komplementární vzhledem k X² a vytvořil monoid s relačním složením. Monoidní jednotka Já je vztah identity {(X,X)|X ∈ X}. Správný zbytek R\S je definováno X(R\S)y jen a jen pro všechny z v X, zRx naznačuje zSy. Duální levý zbytek S/R je definováno y(S/R)X jen a jen pro všechny z v X, xRz naznačuje ySz.
- Napájecí sada 2Σ * udělal booleovskou algebru jako v příkladu 2, ale s jazykovým zřetězením pro monoid. Zde se množina Σ používá jako abeceda, zatímco Σ * označuje množinu všech konečných (včetně prázdných) slov nad touto abecedou. Zřetězení LM jazyků L a M se skládá ze všech slov uv takhle u ∈ L a proti ∈ M. Monoidní jednotka je jazyk {ε} skládající se pouze z prázdného slova ε. Správný zbytek M\L se skládá ze všech slov w přes Σ takové Mw ⊆ L. Levá zbytková L/M je stejný s wM namísto Mw.
Časování
De Morganovy duály ▷ a ◁ reziduace vznikají následovně. Mezi residuovanými mřížemi jsou booleovské algebry zvláštní tím, že mají komplementační operaci ¬. To umožňuje alternativní vyjádření tří nerovností
- y ≤ X\z ⇔ X•y ≤ z ⇔ X ≤ z/y
v axiomatizaci dvou reziduí z hlediska disjunktnosti prostřednictvím ekvivalence X ≤ y ⇔ X∧¬y = 0. Zkratka X∧y = 0 až X # y jako výraz jejich disjunktnosti a nahrazení ¬z pro z v axiomech se stávají malou booleovskou manipulací
- ¬(X\¬z) # y ⇔ X•y # z ⇔ ¬(¬z/y) # X
Nyní ¬ (X\¬z) připomíná De Morgan dualita, což tomu nasvědčuje X být považován za unární operaci F, definován F(y) = X\y, který má De Morgan dvojí ¬F(¬y), analogicky k ∀Xφ (X) = ¬∃X¬φ (X). Tuto duální operaci označíme jako X▷, definujeme X▷z jako ¬ (X\¬z). Podobně definujeme další operaci z◁y jako ¬ (¬z/y). Analogicky s X jako zbytková operace spojená s operací X•, odkazujeme na X▷ jako konjugovaná operace, nebo jednoduše sdružené, z X•. Podobně ◁y je sdružené z •y. Na rozdíl od zbytků je konjugace ekvivalenční vztah mezi operacemi: if F je konjugát G pak G je také konjugát F, tj. konjugát konjugátu z F je F. Další výhodou konjugace je, že je zbytečné hovořit o pravém a levém konjugátu, tento rozdíl se nyní dědí z rozdílu mezi X• a •X, které mají jako příslušné konjugáty X▷ a ◁X. (Ale tato výhoda připadá také na zbytky, když X se považuje za zbytkový provoz do X•.)
To vše přináší (spolu s booleovskou algebrou a monoidními axiomy) následující ekvivalentní axiomatizaci reziduované booleovské algebry.
- y # X▷z ⇔ X•y # z ⇔ X # z◁y
S tímto podpisem zůstává případ, že tuto axiomatizaci lze vyjádřit jako konečně mnoho rovnic.
Konverzovat
V příkladech 2 a 3 lze ukázat, že X▷Já = Já◁X. V příkladu 2 se obě strany rovnají konverzaci X˘ z X, zatímco v příkladu 3 jsou obě strany Já když X obsahuje prázdné slovo a jinak 0. V prvním případě X˘ = X. To je nemožné pro druhé, protože X▷Já uchovává téměř žádné informace o X. V příkladu 2 tedy můžeme nahradit Xpro X v X▷Já = X˘ = Já◁X a zrušit (zdravě) dát
- X˘▷Já = X = Já◁X˘.
X˘˘ = X lze dokázat z těchto dvou rovnic. Tarski pojetí a relační algebra lze definovat jako resolovanou booleovskou algebru s operací X˘ splnění těchto dvou rovnic.
Krok zrušení ve výše uvedeném není možný pro příklad 3, který proto není relační algebra, X˘ je jednoznačně určeno jako X▷Já.
Důsledky této axiomatizace konverzace zahrnují X˘˘ = X, ¬(X˘) = (¬X)˘, (X ∨ y)˘ = X˘ ∨ ya (X•y)˘ = y˘•X˘.
Reference
- Bjarni Jónsson a Constantine Tsinakis, Vztahové algebry jako rezoluované booleovské algebry, Algebra Universalis, 30 (1993) 469-478.
- Peter Jipsen, Počítačem podporované vyšetřování relačních algeber, Ph.D. Diplomová práce, Vanderbilt University, květen 1992.