Relativní skalární - Relative scalar

V matematice, a relativní skalární (hmotnostiw) je funkce se skalární hodnotou, jejíž transformace pod transformací souřadnic,

${ displaystyle { bar {x}} ^ {j} = { bar {x}} ^ {j} (x ^ {i})}$

na n-rozměrné potrubí se řídí následující rovnicí

${ displaystyle { bar {f}} ({ bar {x}} ^ {j}) = J ^ {w} f (x ^ {i})}$

kde

${ displaystyle J = { begin {vmatrix} displaystyle { frac { částečné (x_ {1}, ldots, x_ {n})} { částečné ({ bar {x}} ^ {1}, ldots, { bar {x}} ^ {n})}} end {vmatrix}},}$

to znamená, že determinant Jacobian transformace.^[1] A skalární hustota Odkazuje na ${ displaystyle w = 1}$ případ.

Relativní skaláry jsou důležitým zvláštním případem obecnějšího konceptu a relativní tenzor.

Obyčejný skalární

An obyčejný skalární nebo absolutní skalární^[2] Odkazuje na ${ displaystyle w = 0}$ případ.

Li ${ displaystyle x ^ {i}}$ a ${ displaystyle { bar {x}} ^ {j}}$ odkazují na stejný bod ${ displaystyle P}$ na potrubí, pak si přejeme ${ displaystyle { bar {f}} ({ bar {x}} ^ {j}) = f (x ^ {i})}$. Tuto rovnici lze interpretovat dvěma způsoby, když ${ displaystyle { bar {x}} ^ {j}}$ jsou považovány za "nové souřadnice" a ${ displaystyle x ^ {i}}$ jsou považovány za „původní souřadnice“. První je jako ${ displaystyle { bar {f}} ({ bar {x}} ^ {j}) = f (x ^ {i} ({ bar {x}} ^ {j}))}$, který "převede funkci na nové souřadnice". Druhý je jako ${ displaystyle f (x ^ {i}) = { bar {f}} ({ bar {x}} ^ {j} (x ^ {i}))}$, který „převádí zpět na původní souřadnice.„ Nový “nebo„ původní “je samozřejmě relativní pojem.

Existuje mnoho fyzikálních veličin, které jsou reprezentovány běžnými skaláry, jako je teplota a tlak.

Hmotnost 0 příklad

Předpokládejme, že teplota v místnosti je uvedena z hlediska funkce ${ displaystyle f (x, y, z) = 2x + y + 5}$ v kartézských souřadnicích ${ displaystyle (x, y, z)}$ a funkce ve válcových souřadnicích ${ displaystyle (r, t, h)}$ je žádoucí. Tyto dva souřadnicové systémy jsou spojeny následujícími sadami rovnic:

${ displaystyle r = { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} ,}$

${ displaystyle t = arctan (y / x) ,}$

${ displaystyle h = z ,}$

a

${ displaystyle x = r cos (t) ,}$

${ displaystyle y = r sin (t) ,}$

${ displaystyle z = h. ,}$

Použitím ${ displaystyle { bar {f}} ({ bar {x}} ^ {j}) = f (x ^ {i} ({ bar {x}} ^ {j}))}$ umožňuje odvodit ${ displaystyle { bar {f}} (r, t, h) = 2r cos (t) + r sin (t) +5}$ jako transformovaná funkce.

Zvažte to ${ displaystyle P}$ jehož kartézské souřadnice jsou ${ displaystyle (x, y, z) = (2,3,4)}$ a jehož odpovídající hodnota ve válcovém systému je ${ displaystyle (r, t, h) = ({ sqrt {13}}, arctan {(3/2)}, 4)}$. Rychlý výpočet to ukazuje ${ displaystyle f (2,3,4) = 12}$ a ${ displaystyle { bar {f}} ({ sqrt {13}}, arctan {(3/2)}, 4) = 12}$ taky. Tato rovnost by platila pro jakýkoli zvolený bod ${ displaystyle P}$. Tím pádem, ${ displaystyle f (x, y, z)}$ je "teplotní funkce v kartézském souřadnicovém systému" a ${ displaystyle { bar {f}} (r, t, h)}$ je „teplotní funkce ve válcovém souřadnicovém systému“.

Jedním ze způsobů, jak tyto funkce zobrazit, je reprezentace funkce „rodiče“, která bere bod potrubí jako argument a udává teplotu.

Problém mohl být zvrácen. Jeden mohl být dán ${ displaystyle { bar {f}}}$ a přáli si odvodit kartézskou teplotní funkci ${ displaystyle f}$. Toto jen převrací pojem „nový“ vs. „původní“ souřadnicový systém.

Předpokládejme, že si to přejete integrovat tyto funkce nad „místností“, která bude označena ${ displaystyle D}$. (Ano, integrace teploty je zvláštní, ale to je částečně to, co se má ukázat.) Předpokládejme region ${ displaystyle D}$ je uveden ve válcových souřadnicích jako ${ displaystyle r}$ z ${ displaystyle [0,2]}$, ${ displaystyle t}$ z ${ displaystyle [0, pi / 2]}$ a ${ displaystyle h}$ z ${ displaystyle [0,2]}$ (to znamená, že "místnost" je čtvrtina plátku válce o poloměru a výšce 2) ${ displaystyle f}$ přes region ${ displaystyle D}$ je

${ displaystyle int _ {0} ^ {2} ! int _ {0} ^ { sqrt {2 ^ {2} -x ^ {2}}} ! int _ {0} ^ {2 } ! f (x, y, z) , dz , dy , dx = 16 + 10 pi}$.^[3]

Hodnota integrálu ${ displaystyle { bar {f}}}$ ve stejné oblasti je

${ displaystyle int _ {0} ^ {2} ! int _ {0} ^ { pi / 2} ! int _ {0} ^ {2} ! { bar {f}} ( r, t, h) , dh , dt , dr = 12 + 10 pi}$.^[4]

Nejsou si rovni. Integrál teploty není nezávislý na použitém souřadnicovém systému. V tomto smyslu je to nefyzické, proto „divné“. Všimněte si, že pokud je integrál z ${ displaystyle { bar {f}}}$ zahrnoval faktor Jacobian (což je spravedlivé ${ displaystyle r}$),dostaneme

${ displaystyle int _ {0} ^ {2} ! int _ {0} ^ { pi / 2} ! int _ {0} ^ {2} ! { bar {f}} ( r, t, h) r , dh , dt , dr = 16 + 10 pi}$,^[5]

který je rovná původnímu integrálu, ale není to integrál teplota protože teplota je relativní skalár váhy 0, nikoli relativní skalár váhy 1.

Hmotnost 1 příklad

Kdybychom to řekli ${ displaystyle f (x, y, z) = 2x + y + 5}$ představovala hustotu hmoty, ale její transformované hodnoty by měly zahrnovat jakobiánský faktor, který bere v úvahu geometrické zkreslení souřadnicového systému. Transformovaná funkce je nyní ${ displaystyle { bar {f}} (r, t, h) = (2r cos (t) + r sin (t) +5) r}$. Tentokrát${ displaystyle f (2,3,4) = 12}$ ale ${ displaystyle { bar {f}} ({ sqrt {13}}, arctan {(3/2)}, 4) = 12 { sqrt {29}}}$. Stejně jako dříve je integrál (celková hmotnost) v kartézských souřadnicích

${ displaystyle int _ {0} ^ {2} ! int _ {0} ^ { sqrt {2 ^ {2} -x ^ {2}}} ! int _ {0} ^ {2 } ! f (x, y, z) , dz , dy , dx = 16 + 10 pi}$.

Hodnota integrálu ${ displaystyle { bar {f}}}$ ve stejné oblasti je

${ displaystyle int _ {0} ^ {2} ! int _ {0} ^ { pi / 2} ! int _ {0} ^ {2} ! { bar {f}} ( r, t, h) , dh , dt , dr = 16 + 10 pi}$.

Jsou si rovni. Integrál hmoty hustota dává celkovou hmotnost, což je koncept nezávislý na souřadnicích. Všimněte si, že pokud je integrál ${ displaystyle { bar {f}}}$ také zahrnoval faktor Jacobian jako předtím, dostaneme

${ displaystyle int _ {0} ^ {2} ! int _ {0} ^ { pi / 2} ! int _ {0} ^ {2} ! { bar {f}} ( r, t, h) r , dh , dt , dr = 24 + 40 pi / 3}$,^[6]

což se nerovná předchozímu případu.

Ostatní případy

Váhy jiné než 0 a 1 nevznikají tak často. Je možné ukázat, že determinant tenzoru typu (0,2) je relativní skalár váhy 2.

Viz také

• Jakobiánská matice a determinant

Reference