Odhad modelu Rasch - Rasch model estimation

Tento článek má několik problémů. Prosím pomozte vylepši to nebo diskutovat o těchto problémech na internetu diskusní stránka. (Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat) tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Odhad modelu Rasch“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Červenec 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) tento článek poskytuje nedostatečný kontext pro ty, kteří danému tématu nejsou obeznámeni. Prosím pomozte vylepšit článek podle poskytuje čtenáři více kontextu. (Říjen 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Odhad modelu Rasch se používá k odhadu parametrů Rasch model. K odhadu parametrů z matic dat odezvy se používají různé techniky. Nejběžnější přístupy jsou typy maximální pravděpodobnost odhad, jako je společný a podmíněný odhad maximální pravděpodobnosti. Rovnice společné maximální věrohodnosti (JML) jsou účinné, ale pro konečný počet položek nekonzistentní, zatímco rovnice podmíněné maximální věrohodnosti (CML) poskytují konzistentní a nezaujaté odhady položek. Odhady osob se obecně považují za odhady zaujatost spojené s nimi, ačkoli metody váženého odhadu pravděpodobnosti pro odhad parametrů osob snižují zkreslení.

Rasch model

Raschův model pro dichotomická data má podobu:

${ displaystyle Pr {X_ {ni} = 1 } = { frac { exp ({ beta _ {n}} - { delta _ {i}})}} {1+ exp ({ beta _ {n}} - { delta _ {i}})}},}$

kde ${ displaystyle beta _ {n}}$ je schopnost člověka ${ displaystyle n}$ a ${ displaystyle delta _ {i}}$ je obtížnost položky ${ displaystyle i}$.

Společná maximální pravděpodobnost

Nechat ${ displaystyle x_ {ni}}$ označit pozorovanou odpověď pro osobu n na položce i. Pravděpodobnost pozorované datové matice, která je součinem pravděpodobností jednotlivých odpovědí, je dána funkcí pravděpodobnosti

${ displaystyle Lambda = { frac { prod _ {n} prod _ {i} exp (x_ {ni} ( beta _ {n} - delta _ {i}))} { prod _ {n} prod _ {i} (1+ exp ( beta _ {n} - delta _ {i}))}}}$

Funkce log-likelihood je tedy

${ displaystyle log Lambda = součet _ {n} ^ {N} beta _ {n} r_ {n} - součet _ {i} ^ {I} delta _ {i} s_ {i} - sum _ {n} ^ {N} sum _ {i} ^ {I} log (1+ exp ( beta _ {n} - delta _ {i}))}$

kde ${ displaystyle r_ {n} = součet _ {i} ^ {I} x_ {ni}}$ je celkové hrubé skóre pro osobu n, ${ displaystyle s_ {i} = součet _ {n} ^ {N} x_ {ni}}$ je celkové hrubé skóre položky i, N je celkový počet osob a Já je celkový počet položek.

Rovnice řešení se získají pomocí částečných derivací s ohledem na ${ displaystyle delta _ {i}}$ a ${ displaystyle beta _ {n}}$ a nastavení výsledku rovného 0. Rovnice řešení JML jsou:

${ displaystyle s_ {i} = součet _ {n} ^ {N} p_ {ni}, quad i = 1, tečky, I}$

${ displaystyle r_ {n} = součet _ {i} ^ {I} p_ {ni}, quad n = 1, tečky, N}$

kde ${ displaystyle p_ {ni} = exp ( beta _ {n} - delta _ {i}) / (1+ exp ( beta _ {n} - delta _ {i}))}$.

Výsledné odhady jsou zkreslené a neexistují žádné konečné odhady pro osoby se skóre 0 (žádné správné odpovědi) nebo se 100% správnými odpověďmi (perfektní skóre). Totéž platí pro položky s extrémním skóre, neexistují žádné odhady. Toto zkreslení je způsobeno dobře známým účinkem, který popsali Kiefer & Wolfowitz (1956). Je to v pořádku ${ displaystyle (I-1) / I}$a přesnější (méně zaujatý) odhad každého z nich ${ displaystyle delta _ {i}}$ se získá vynásobením odhadů číslem ${ displaystyle (I-1) / I}$.

Podmíněná maximální pravděpodobnost

Funkce podmíněné pravděpodobnosti je definována jako

${ displaystyle Lambda = prod _ {n} Pr {(x_ {ni}) mid r_ {n} } = { frac { exp ( sum _ {i} -s_ {i} delta _ {i})} { prod _ {n} gamma _ {r}}}}$

ve kterém

${ displaystyle gamma _ {r} = součet _ {(x) střední r} exp (- součet _ {i} x_ {ni} delta _ {i})}$

je elementární symetrická funkce řádu r, což představuje součet za všechny kombinace r položky. Například v případě tří položek

${ displaystyle gamma _ {2} = exp (- delta _ {1} - delta _ {2}) + exp (- delta _ {1} - delta _ {3}) + exp (- delta _ {2} - delta _ {3}).}$

Odhadové algoritmy

Nějaký druh algoritmus maximalizace očekávání se používá při odhadu parametrů modelů Rasch. Algoritmy pro implementaci odhadu maximální pravděpodobnosti se běžně používají Newton-Raphson iterace k řešení pro rovnice řešení získané z nastavení parciálních derivací funkcí logaritmické pravděpodobnosti rovných 0. K určení, kdy iterace přestanou, se používají konvergenční kritéria. Kritériem může být například to, že průměrný odhad položky se změní o méně než určitou hodnotu, například 0,001, mezi jednou iterací a druhou pro všechny položky.

Viz také

• Algoritmus maximalizace očekávání
• Rasch model

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Červenec 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Reference

• Linacre, J.M. (2004). Metody odhadu pro Raschova opatření. Kapitola 2 v E.V. Smith & R. M. Smith (Eds.) Úvod do měření Rasch. Maple Grove MN: JAM Press.
• Linacre, J.M. (2004). Odhad modelu Rasch: další témata. Kapitola 24 v E.V. Smith & R. M. Smith (Eds.) Úvod do měření Rasch. Maple Grove MN: JAM Press.