Kritérium rozsahu - Range criterion

v kvantová mechanika, zejména kvantová informace, Kritérium rozsahu je nutnou podmínkou, kterou musí stát splnit, aby mohl být oddělitelný. Jinými slovy, je to kritérium oddělitelnosti.

Výsledek

Uvažujme kvantově mechanický systém složený z n subsystémy. Státní prostor H takového systému je tenzorovým produktem subsystémů, tj. ${displaystyle H = H_ {1} další cdoty další časy H_ {n}}$.

Pro zjednodušení budeme předpokládat, že všechny relevantní stavové prostory jsou konečně trojrozměrné.

Kritérium zní takto: Pokud ρ je oddělitelný smíšený stav, který působí H, pak je rozsah ρ překlenut sadou vektorů produktů.

Důkaz

Obecně platí, že pokud je matice M je ve formě ${displaystyle M = součet _ {i} v_ {i} v_ {i} ^ {*}}$, rozsah M, Ran (M), je obsažen v lineárním rozpětí ${displaystyle; {v_ {i}}}$. Na druhou stranu můžeme také ukázat ${displaystyle v_ {i}}$ leží v Ran (M), pro všechny i. Předpokládejme bez ztráty obecnosti i = 1. Můžeme psát${displaystyle M = v_ {1} v_ {1} ^ {*} + T}$, kde T je Hermitian a pozitivní semidefinite. Existují dvě možnosti:

1) rozpětí${displaystyle {v_ {1}} podmnožina}$Ker (T). Je zřejmé, že v tomto případě ${displaystyle v_ {1} v}$ Ran (M).

2) Upozornění 1) je pravdivé tehdy a jen tehdy Ker (T)${displaystyle; ^ {perp} podmnožina}$ rozpětí${displaystyle {v_ {1}} ^ {perp}}$, kde ${displaystyle perp}$ označuje ortogonální doplněk. Hermiticitou z T, to je stejné jako Ran (T)${podmnožina zobrazení}$ rozpětí${displaystyle {v_ {1}} ^ {perp}}$. Pokud tedy 1) nedrží, křižovatka Ran (T) ${displaystyle cap}$ rozpětí${displaystyle {v_ {1}}}$ je neprázdné, tj. existuje nějaké komplexní číslo α takové, že ${displaystyle; Tw = alpha v_ {1}}$. Tak

${displaystyle Mw = langle w, v_ {1} úhel v_ {1} + Tw = (langle w, v_ {1} úhel + alfa) v_ {1}.}$

Proto ${displaystyle v_ {1}}$ leží v Ran (M).

Tím pádem Ran (M) se shoduje s lineárním rozpětím ${displaystyle; {v_ {i}}}$. Kritériem rozsahu je zvláštní případ této skutečnosti.

Matice hustoty ρ působící na H je oddělitelný, právě když lze zapsat jako

${displaystyle ho = sum _ {i} psi _ {1, i} psi _ {1, i} ^ {*} další cdots další krát psi _ {n, i} psi _ {n, i} ^ {*}}$

kde ${displaystyle psi _ {j, i} psi _ {j, i} ^ {*}}$ je (nenormalizovaný) čistý stav na j-tý subsystém. To je také

${displaystyle ho = sum _ {i} (psi _ {1, i} otimes cdots otimes psi _ {n, i}) (psi _ {1, i} ^ {*} otimes cdots otimes psi _ {n, i} ^ {*}).}$

Ale toto je přesně stejná forma jako M shora, se stavem vektorového produktu ${displaystyle psi _ {1, i} další cdoty další psi _ {n, i}}$ výměna ${displaystyle v_ {i}}$. Poté okamžitě vyplývá, že rozsah ρ je lineární rozpětí těchto stavů součinu. Toto kritérium dokazuje.

Reference

• P. Horodecki, "Kritérium oddělitelnosti a neoddělitelné smíšené státy s pozitivní částečnou transpozicí", Fyzikální dopisy 232, (1997).