Radó – Kneser – Choquetova věta - Radó–Kneser–Choquet theorem

v matematika, Radó – Kneser – Choquetova věta, pojmenoval podle Tibor Radó, Hellmuth Kneser a Gustave Choquet, uvádí, že Poissonův integrál homeomorfismu jednotkový kruh je harmonický difeomorfismus otevřenosti jednotka disku. Výsledek uvedl Radó jako problém a krátce nato jej vyřešil Kneser v roce 1926. Choquet, nevědomý si práce Radó a Knesera, znovu objevil výsledek jiným důkazem v roce 1945. Choquet také zobecnil výsledek na Poissonův integrál homeomorfismus od jednotkového kruhu po jednoduchou Jordanovu křivku ohraničující konvexní oblast.

Prohlášení

Nechat F být orientačním homeomorfismem jednotkového kruhu |z| = 1 palec C a definovat Poissonův integrál F podle

{ displaystyle displaystyle {F_ {f} (re ^ {i theta}) = {1 nad 2 pi} int _ {0} ^ {2 pi} f ( varphi) cdot {1- r ^ {2} přes 1-2r cos ( theta - varphi) + r ^ {2}} , d varphi,}}

pro r <1. Standardní vlastnosti Poissonova integrálu to ukazují F_F je harmonická funkce na |z| <1, která se rozšiřuje kontinuitou na F na |z| = 1. S dalším předpokladem, že F je homeomorfismus tohoto kruhu zachovávající orientaci, F_F je orientace zachovávající difeomorfismus otevřeného disku jednotky.

Důkaz

Dokázat to F_F je lokálně difeomorfismus zachovávající orientaci, stačí ukázat, že jakobijci v určitém okamžiku A v jednotkovém disku je kladný. Tento Jacobian je dán

{ displaystyle displaystyle {J_ {f} (a) = | částečné _ {z} F_ {f} (a) | ^ {2} - | částečné _ { overline {z}} F_ {f} ( a) | ^ {2}.}}

Na druhou stranu G je Möbiova transformace zachovávající kruh jednotky a disk jednotky,

{ displaystyle displaystyle {F_ {f circ g} = F_ {f} circle g.}}

Brát G aby G(A) = 0 a při změně proměnné ζ = G(z), pravidlo řetězu dává

{ displaystyle displaystyle {(F_ {f} circ g) _ {z} = [(F_ {f}) _ { zeta} circ g] cdot g_ {z}, , , (F_ { f} circ g) _ { overline {z}} = [(F_ {f}) _ { overline { zeta}} circ g] cdot { overline {g_ {z}}}.}}

Z toho vyplývá, že

{ displaystyle displaystyle {J_ {f circ g} (a) = J_ {f} (0) cdot | g_ {z} (a) | ^ {2}.}}

Stačí tedy prokázat pozitivitu jakobiána, když A = 0. V tom případě

{ displaystyle displaystyle {J_ {f} (0) = | a_ {1} | ^ {2} - | a _ {- 1} | ^ {2},}}

Kde A_n jsou Fourierovy koeficienty F:

{ displaystyle displaystyle {a_ {n} = {1 nad 2 pi} int _ {0} ^ {2 pi} f (e ^ {i theta}) e ^ {- v theta} , d theta.}}

Následující Douady & Earle (1986), Jacobian na 0 může být vyjádřen jako dvojitý integrál

{ displaystyle displaystyle {| a_ {1} | ^ {2} - | a _ {- 1} | ^ {2} = {1 přes 4 pi ^ {2}} int _ {0} ^ {2 pi} int _ {0} ^ {2 pi} Re [f (e ^ {i theta}) { overline {f (e ^ {i varphi})}}} (e ^ {i ( theta - varphi)} - e ^ {- i ( theta - varphi)})] , d theta , d varphi.}}

Psaní

{ displaystyle displaystyle {f (e ^ {i theta}) = e ^ {ih ( theta)},}}

kde h je přísně rostoucí nepřetržitá funkce uspokojující

{ displaystyle displaystyle {h ( theta +2 pi) = h ( theta) +2 pi},}

dvojitý integrál lze přepsat jako

{ displaystyle displaystyle {| a_ {1} | ^ {2} - | a _ {- 1} | ^ {2} = {1 nad 2 pi ^ {2}} int _ {0} ^ {2 pi} int _ {0} ^ {2 pi} sin ( theta - varphi) sin (h ( theta) -h ( varphi)) , d theta , d varphi = {1 nad 2 pi ^ {2}} int _ {0} ^ {2 pi} int _ {0} ^ {2 pi} sin ( theta) sin (h ( theta + varphi) -h ( varphi)) , d theta , d varphi.}}

Proto

{ displaystyle displaystyle {| a_ {1} | ^ {2} - | a _ {- 1} | ^ {2} = {1 nad 2 pi ^ {2}} int _ {0} ^ { pi} sin theta int _ {0} ^ { pi} R ( theta, varphi) , d varphi , d theta,}}

kde

{ Displaystyle R ( theta, varphi) = sin (h ( varphi + theta) -h ( varphi)) + sin (h ( varphi +2 pi) -h ( varphi + theta + pi)) + sin (h ( varphi + theta + pi) -h ( varphi + pi)) + sin (h ( varphi + pi) -h ( varphi + theta)).}

Tento vzorec dává R jako součet sinusů čtyř nezáporných úhlů se součtem 2π, takže je vždy nezáporný.^[1] Ale pak je Jacobian na 0 přísně pozitivní a F_F je tedy místně difeomorfismus.

Zbývá odvodit F_F je homeomorfismus. Kontinuitou je jeho obraz kompaktní a tak uzavřený. To, že Jacobian nezmizel, to naznačuje F_F je otevřené mapování na disku jednotky, takže obraz otevřeného disku je otevřený. Obraz uzavřeného disku je tedy otevřenou a uzavřenou podmnožinou uzavřeného disku. Konektivitou to musí být celý disk. Pro |w| <1, inverzní obraz w je uzavřený, tak kompaktní a zcela obsažený v otevřeném disku. Od té doby F_F je místně homeomorfismus, musí to být konečná množina. Sada bodů w na otevřeném disku přesně n preimages je otevřený. Díky připojení má každý bod stejné číslo N preimages. Protože otevřený disk je jednoduše připojeno, N = 1. Ve skutečnosti vezmeme jakoukoli preimage počátku, každá radiální čára má jedinečné zvednutí na preimage, a tak existuje otevřená podmnožina disku jednotky mapující homeomorfně na otevřený disk. Li N > 1, jeho doplněk by také musel být otevřený, což je v rozporu s konektivitou.

Poznámky

^ Tento základní fakt platí obecněji pro libovolný počet nezáporných úhlů se součtem 2π. Pokud jsou všechny úhly menší nebo rovny π, jsou všechny sinusy nezáporné. Pokud je jedna větší než π, výsledek říká, že sinus součtu ostatních úhlů je menší než sinus jejich součtu. Toto následuje indukcí z výsledku pro dva úhly, což je samo o sobě přímým důsledkem trigonometrického vzorce pro sinus součtu.

Reference

Kneser, Hellmuth (1926), „Lösung der Aufgabe 41“ (PDF), Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 35: 123–124
Choquet, Gustave (1945), „Sur un type de transformation analytique généralisant la représentation conforme et définie au moyen de fonctions harmoniques“, Býk. Sci. Matematika., 69: 156–165
Douady, Adriene; Earle, Clifford J. (1986), "Konformně přirozené rozšíření homeomorfismů kruhu", Acta Math., 157: 23–48, doi:10.1007 / bf02392590
Duren, Peter (2004), Harmonické zobrazení v rovině„Cambridge Tracts in Mathematics“, 156, Cambridge University Press, ISBN 0-521-64121-7
Sheil-Small, T. (1985), Na Fourierově řadě konečně popsané konvexní křivky a domněnky H. S. Shapira, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 98, str. 513–527

[1] Tento základní fakt platí obecněji pro libovolný počet nezáporných úhlů se součtem 2π. Pokud jsou všechny úhly menší nebo rovny π, jsou všechny sinusy nezáporné. Pokud je jedna větší než π, výsledek říká, že sinus součtu ostatních úhlů je menší než sinus jejich součtu. Toto následuje indukcí z výsledku pro dva úhly, což je samo o sobě přímým důsledkem trigonometrického vzorce pro sinus součtu.

[1]