Věta Qvists - Qvists theorem - Wikipedia

Qvistova věta o konečných oválech

v projektivní geometrie Qvistova věta, pojmenovaný podle finského matematika Bertil Qvist, je prohlášení o ovály v konečný projektivní roviny. Standardní příklady oválů jsou nedegenerované (projektivní) kuželosečky. Věta dává odpověď na otázku Kolik tečen k oválu může projít bodem v konečné projektivní rovině? Odpověď v zásadě závisí na objednat (počet bodů na přímce −1) roviny.

Definice oval

• V projektivní rovina sada Ω bodů se nazývá ovál, pokud:

1. Libovolný řádek l splňuje Ω maximálně ve dvou bodech a
2. Pro jakýkoli bod P ∈ Ω existuje přesně jedna tečná čára t přes P, tj., t ∩ Ω = {P}.

Když |l ∩ Ω | = 0 linie l je vnější linie (nebo pasivní),^[1] -li |l ∩ Ω| = 1 A tečna a pokud |l ∩ Ω| = 2 linka je a sekanční čára.

Pro konečný roviny (tj. množina bodů je konečná) máme pohodlnější charakterizaci:^[2]

• Pro konečnou projektivní rovinu objednat n (tj. jakýkoli řádek obsahuje n + 1 body) sada Ω of points is a oval if and only if |Ω| = n + 1 a žádné tři body nejsou kolineární (na společné lince).

Prohlášení a důkaz Qvistovy věty

Qvistova věta^[3][4]

Nechat Ω být ovál v konečné projektivní rovině řádu n.

(a) Pokud n je zvláštní,

každý bod P ∉ Ω je incident s 0 nebo 2 tečnami.

(b) Pokud n je dokonce,

existuje bod N, jádro nebo uzel, takový, že sada tečen na ovál Ω je tužka všech řádků N.

Qvistova věta: k důkazu v případě n lichého

Qvistova věta: k důkazu v případě n sudého

Důkaz

(a) Nechte t_R být tečna k Ω v bodě R a nechte P₁, ... , P_n být zbývajícími body této linie. Pro každého i, řádky prošly P_i rozdělit Ω do množin mohutnosti 2 nebo 1 nebo 0. Od čísla |Ω| = n + 1 je v každém případě rovnoměrné P_i, tímto bodem musí existovat alespoň jedna další tečna. Celkový počet tečen je n + 1, proto jsou přesně dvě tečny skrz každou P_i, t_R a jeden další. Tedy pro jakýkoli bod P ne v oválu Ω, pokud P je na jakékoli tangentě Ω je to přesně na dvou tečnách.

(b) Nechte s být sekán, s ∩ Ω = {P₀, P₁} a s= {P₀, P₁,...,P_n}. Protože |Ω| = n + 1 je liché, skrz jakékoli P_i, i = 2, ..., n, projde alespoň jedna tečna t_i. Celkový počet tečen je n + 1. Proto skrz jakýkoli bod P_i pro i = 2, ...,n existuje přesně jedna tečna. Li N je průsečík dvou tečen, kterým nemůže projít žádná sečna N. Protože n + 1, počet tečen, je také počet linií skrz libovolný bod, jakoukoli linii skrz N je tečna.

Příklad v pappiánské rovině sudého řádu

Použitím nehomogenní souřadnice přes pole K., |K.| = n dokonce i sada

Ω₁ = {(x, y) | y = X²} ∪ {(∞)},

projektivní uzavření paraboly y = X², je ovál s hrotem N = (0) jako jádro (viz obrázek), tj. jakýkoli řádek y = C, s C ∈ K., je tečna.

Definice a vlastnost hyperovalů

• Jakýkoli ovál Ω v konečný projektivní rovina dokonce objednat n má jádro N.

Bod je nastaven Ω : = Ω ∪ {N} se nazývá a hyperoval nebo (n + 2)-oblouk. (Konečný ovál je (n + 1)-oblouk.)

Jeden snadno zkontroluje následující základní vlastnost hyperoval:

• Pro hyperoval Ω a bod R ∈ Ω sada bodů Ω \ {R} je ovál.

projektivní kuželovitý řez Ω₁

Tato vlastnost poskytuje jednoduchý způsob konstrukce dalších oválů z daného oválu.

Příklad

Pro projektivní rovinu přes konečné pole K., |K.| = n dokonce a n > 4, sada

Ω₁ = {(x, y) | y = X²} ∪ {(∞)} je ovál (kuželovitý řez) (viz obrázek),

Ω₁ = {(x, y) | y = X²} ∪ {(0), (∞)} je hyperoval a

Ω₂ = {(x, y) | y = X²} ∪ {(0)} je další ovál, který není kuželovitou částí. (Připomeňme, že kónická část je určena jednoznačně o 5 bodů.)

Poznámky

Reference

• Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute (1998), Projektivní geometrie / od základů po aplikace, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-48364-3
• Dembowski, Peter (1968), Konečné geometrie, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 44, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  3-540-61786-8, PAN  0233275

externí odkazy

• E. Hartmann: Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes. Skript, TH Darmstadt (PDF; 891 kB), s. 40.