Kvantové kyvadlo - Quantum pendulum
![]() | Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace.Srpna 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
The kvantové kyvadlo má zásadní význam pro porozumění bráněným vnitřním rotacím v chemii, kvantovým vlastnostem rozptylu atomů a mnoha dalším kvantovým jevům. Ačkoli kyvadlo nepodléhající aproximaci malého úhlu má inherentní nelinearitu, Schrödingerova rovnice pro kvantovaný systém lze vyřešit relativně snadno.
Schrödingerova rovnice
Použitím Lagrangian mechanika z klasické mechaniky lze vyvinout a Hamiltonian pro systém. Jednoduché kyvadlo má jednu zobecněnou souřadnici (úhlové posunutí ) a dvě omezení (délka řetězce a rovina pohybu). Kinetická a potenciální energie systému lze nalézt
To má za následek Hamiltonian
Časově závislé Schrödingerova rovnice pro systém je
Je třeba vyřešit časově nezávislou Schrödingerovu rovnici, abychom našli energetické úrovně a odpovídající vlastní stavy. Toho lze nejlépe dosáhnout změnou nezávislé proměnné následujícím způsobem:
Toto je jednoduše Mathieuova diferenciální rovnice
jejichž řešení jsou Funkce Mathieu.
Řešení
Energie
Dáno , pro nespočetně mnoho speciálních hodnot , volala charakteristické hodnoty, Mathieuova rovnice připouští řešení, která jsou periodická s periodou . Jsou zapsány charakteristické hodnoty kosinusových, resp. Sinusových funkcí Mathieu , kde je přirozené číslo. Pravidelné zvláštní případy kosinusových a sínusových funkcí Mathieu jsou často psány respektive, i když se jim tradičně dává jiná normalizace (jmenovitě, že jejich norma se rovná ).
Okrajové podmínky v kvantovém kyvadle to naznačují jsou pro daný případ následující :
Energie systému, pro sudá / lichá řešení jsou kvantována na základě charakteristických hodnot nalezených řešením Mathieuovy rovnice.
Efektivní hloubku potenciálu lze definovat jako
Hluboký potenciál poskytuje dynamiku částice v nezávislém potenciálu. Naproti tomu v mělkém potenciálu Bloch vlny, stejně jako kvantové tunelování, nabývají na důležitosti.
Obecné řešení
Obecné řešení výše uvedené diferenciální rovnice pro danou hodnotu A a q je sada lineárně nezávislých Mathieuových kosinů a Mathieuových sinusů, což jsou sudá a lichá řešení. Obecně jsou Mathieuovy funkce neperiodické; pro charakteristické hodnoty , Mathieuův kosinus a sinus se stávají periodickými s periodou .
Vlastní státy
Pro kladné hodnoty q, platí následující:
Zde je prvních několik periodických kosmických funkcí Mathieu pro .
![MathieuCE.gif](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3c/MathieuCE.gif)
Všimněte si, že například (zelená) připomíná kosinusovou funkci, ale s ploššími kopci a mělčími údolími.
Viz také
Bibliografie
- Bransden, B. H .; Joachain, C. J. (2000). Kvantová mechanika (2. vyd.). Essex: Pearson Education. ISBN 0-582-35691-1.
- Davies, John H. (2006). Fyzika nízkodimenzionálních polovodičů: Úvod (6. dotisk ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-48491-X.
- Griffiths, David J. (2004). Úvod do kvantové mechaniky (2. vyd.). Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7.
- Muhammad Ayub, Atomová optika Kvantové kyvadlo, 2011, Islamabad, Pákistán., http://lanl.arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1012/1012.6011v1.pdf