Prandtlův stav - Prandtl condition

The Prandtlův stav navrhl německý fyzik Ludwig Prandtl identifikovat možné body oddělení mezních vrstev nestlačitelných toků.^[1]

Podmínka Prandtl v normálním šoku

V případě normálního rázu se předpokládá, že tok je v ustáleném stavu a tloušťka rázu je velmi malá. Dále se předpokládá, že při rázu nedochází k žádnému tření ani ztrátám tepla (protože přenos tepla je zanedbatelný, protože k němu dochází na relativně malém povrchu). V tomto poli je obvyklé označovat x jako podmínku proti proudu a y jako podmínku po proudu. Protože hmotnostní průtok z obou stran šoku je konstantní, hmotnostní bilance se stává,

${ displaystyle rho _ {x} .U_ {x} = rho _ {y} .U_ {y}}$

Jelikož není aplikována žádná vnější síla, hybnost se zachovává

${ displaystyle P_ {x} -P_ {y} = rho _ {x} .U_ {x} ^ {2} - rho _ {y} .U {y} ^ {2}}$

Protože tok tepla je zanedbatelný, lze tento proces považovat za adiabatický. Energetická rovnice tedy bude

${ displaystyle C_ {p} .T_ {x} + { frac {U_ {x} ^ {2}} {2}} = C_ {p} .T_ {y} + { frac {U_ {y} ^ {2}} {2}}}$

Ze stavové rovnice pro dokonalý plyn P = ρRT

Vzhledem k tomu, že teplota z obou stran rázové vlny je přerušena, je rychlost zvuku v tomto sousedním médiu odlišná. Je tedy vhodné definovat hvězdné číslo machu, které bude nezávislé na konkrétním mach čísle. Z hvězdných podmínek může být rychlost zvuku v kritickém stavu také dobrou referenční rychlostí. Rychlost zvuku při této teplotě je,

${ displaystyle c ^ {*} = { sqrt {kRT ^ {*}}}}$

A další Machovo číslo, které je nezávislé na konkrétním Machově čísle, je,

${ displaystyle M ^ {*} = { frac {U} {c ^ {*}}} = { frac {cM} {c ^ {*}}}}$

Protože energie zůstává v celém šoku konstantní

${ displaystyle { frac {c ^ {2}} {k-1}} + { frac {U ^ {2}} {2}} = { frac {c ^ {* ^ {2}}} { k-1}} + { frac {c ^ {* ^ {2}}} {2}} = { frac {(k + 1) c ^ {* ^ {2}}} {2 (k-1 )}}}$

dělení rovnice hmotnosti rovnicí hybnosti dostaneme

${ displaystyle { frac {c_ {1} ^ {2}} {kU_ {1}}} + U_ {1} = { frac {c_ {2} ^ {2}} {kU_ {2}}} + U_ {2}}$

Z výše uvedených rovnic

${ displaystyle { frac {1} {kU_ {1}}} [{ frac {(k + 1) c ^ {* ^ {2}}} {2}} - { frac {(k-1) U_ {1}} {2}}] + U_ {1} = { frac {1} {kU_ {2}}} [{ frac {(k + 1) c ^ {* ^ {2}}} { 2}} - { frac {(k-1) U_ {2}} {2}}] + U_ {2}}$

zvýší se to

${ displaystyle U_ {1} .U_ {2} = a ^ {* ^ {2}}}$

Což se nazývá prandtlův stav v normálním šoku

Reference