Rovnice rovnováhy obyvatelstva - Population balance equation - Wikipedia

Rovnice populační bilance (PBE) byly zavedeny v několika odvětvích moderní vědy, zejména v Chemické inženýrství, popsat vývoj populace částic. To zahrnuje témata jako krystalizace[1], loužení (metalurgie)[2][3], kapalina – kapalina extrakce, disperze plyn-kapalina, reakce kapalina-kapalina, drcení, aerosolové inženýrství, biologie (kde samostatnými entitami jsou buňky na základě jejich velikosti nebo intracelulárních proteinů[4]), polymerizace, atd. Rovnice populační rovnováhy lze říci, že jsou odvozeny jako rozšíření Smoluchowského koagulační rovnice který popisuje pouze koalescenci částic. PBE obecněji definují, jak se populace samostatných entit vyvíjejí v konkrétních vlastnostech v průběhu času. Jsou souborem Integro-parciální diferenciální rovnice který udává chování pole populace populace částic z analýzy chování jednotlivých částic v místních podmínkách.[5]Systémy částic se vyznačují zrozením a smrtí částic. Zvažte například srážky proces (tvorba pevné látky z kapalného roztoku), který má podprocesy nukleace, aglomerace, rozbití atd., které vedou ke zvýšení nebo snížení počtu částic konkrétního poloměr (za předpokladu tvorby sférických částic). Rovnováha populace není nic jiného než a rovnováha na počtu částic konkrétního stavu (v tomto příkladu velikost).

Formulace PBE

Uvažujme průměrný počet částic s vlastnostmi částic označenými vektorem stavu částic (X,r) (kde X odpovídá vlastnostem částic, jako je velikost, hustota atd. známé také jako vnitřní souřadnice a r odpovídá prostorové poloze nebo vnějším souřadnicím) rozptýleným v spojité fázi definované fázovým vektorem Y (r, t) (což je opět funkce všech takových vektorů, které označují fázové vlastnosti na různých místech) je označeno f (X,r, t). Proto dává vlastnosti částic v doménách vlastností a prostoru. Nech h (X,r,Y, t) označuje porodnost částic na jednotku objemu stavového prostoru částic, takže zachování počtu lze zapsat jako[5]

Toto je zobecněná forma PBE.[5]

Řešení pro PBE

Metody Monte Carlo [6],[7] diskretizace metody a momentové metody [6][7][8][9][10][11] se používají hlavně k jejich řešení rovnice. Volba závisí na aplikační a výpočetní infrastruktuře.

Reference

  1. ^ Hulburt, H.M .; Katz, S. (srpen 1964). "Některé problémy v technologii částic". Věda o chemickém inženýrství. 19 (8): 555–574. doi:10.1016/0009-2509(64)85047-8.
  2. ^ Bortot Coelho, Fabrício Eduardo; Balarini, Julio Cézar; Araújo, Estêvão Magno Rodrigues; Miranda, Tânia Lúcia Santos; Peres, Antônio Eduardo Clark; Martins, Afonso Henriques; Salum, Adriane (červen 2020). „Přístup populační rovnováhy k předpovědi výkonnosti kontinuálních vyluhovacích reaktorů: Validace modelu v pilotním zařízení s použitím praženého koncentrátu zinku“. Hydrometalurgie. 194: 105301. doi:10.1016 / j.hydromet.2020.105301.
  3. ^ Coelho, Fabrício Eduardo Bortot; Balarini, Julio Cézar; Araújo, Estêvão Magno Rodrigues; Miranda, Tânia Lúcia Santos; Peres, Antônio Eduardo Clark; Martins, Afonso Henriques; Salum, Adriane (leden 2018). "Vyluhování koncentrátu praženého zinku: Modelování a validace populační rovnováhy". Hydrometalurgie. 175: 208–217. doi:10.1016 / j.hydromet.2017.11.013.
  4. ^ Alhuthali, Sakhr; Fadda, Sarah; Goey, Cher H .; Kontoravdi, Cleo (01.01.2017). "Vícestupňový model populační rovnováhy k pochopení dynamiky fed-batch CHO buněčné kultury". V Espuña, Antonio; Graells, Moisès; Puigjaner, Luis (eds.). 27. evropské symposium o počítačově podporovaném procesním inženýrství. Počítačem podporované chemické inženýrství. 27 Evropské symposium o počítačově podporovaném procesním inženýrství. 40. Elsevier. 2821–2826. doi:10.1016 / B978-0-444-63965-3,50472-4. ISBN  9780444639653.
  5. ^ A b C Ramkrishna, D .: Populační bilance: Teorie a aplikace na částicové systémy ve strojírenství, Academic Press, 2000
  6. ^ A b Hashemian, N .; Armaou, A. (2016). "Simulace, redukce modelu a odhad stavu dvousložkového koagulačního procesu". AIChE Journal. 62 (5): 1557–1567. doi:10.1002 / aic.15146.
  7. ^ A b Hashemian, N .; Ghanaatpishe, M .; Armaou, A. (2016). Vývoj modelu se sníženou objednávkou pro dvousložkové granulační procesy pomocí laguerrových polynomů. Sborník příspěvků z americké kontrolní konference. 3668–3673. doi:10.1109 / ACC.2016.7525483. ISBN  978-1-4673-8682-1. S2CID  7505525.
  8. ^ Popis dynamiky aerosolu kvadraturní metodou momentů, Robert McGrawa, Aerosol Science and Technology, svazek 27, číslo 2, 1997, strany 255-265
  9. ^ Yu, M., Lin, J. a Chan, T. (2008). Metoda nového momentu pro řešení koagulační rovnice pro částice v Brownově pohybu. Aerosol Sci. Technol., 42 (9): 705–713.
  10. ^ Marchisio, D. L. a Fox, R. O. (2005). Řešení populačních bilančních rovnic pomocí přímé kvadraturní metody momentů. J. Aerosol Sci., 36 (1): 43–73.
  11. ^ Andalibi, M. Reza; Kumar, Abhishek; Srinivasan, Bhuvanesh; Bowen, Paul; Scrivener, Karen; Ludwig, Christian; Testino, Andrea (2018). „K mechanismu mesoscale syntetického srážení vápník-křemičitan-hydrát: přístup modelování bilance populace“. Journal of Materials Chemistry A. 6 (2): 363–373. doi:10.1039 / C7TA08784E. ISSN  2050-7488.