Plethystická substituce - Plethystic substitution

Plethystická substituce je zkratková notace pro běžný druh náhrady v algebra symetrických funkcí a to z symetrické polynomy. Jde v zásadě o základní substituci proměnných, ale umožňuje změnu počtu použitých proměnných.

Definice

Formální definice plethystické substituce se opírá o skutečnost, že kruh symetrických funkcí ${ displaystyle Lambda _ {R} (x_ {1}, x_ {2}, ldots)}$ je generován jako R-algebra podle symetrických funkcí součtu výkonů

${ displaystyle p_ {k} = x_ {1} ^ {k} + x_ {2} ^ {k} + x_ {3} ^ {k} + cdots.}$

Pro libovolnou symetrickou funkci ${ displaystyle f}$ a jakýkoli formální součet monomiálů ${ displaystyle A = a_ {1} + a_ {2} + cdots}$, plethystická substituce f [A] je formální řada získaná provedením substitucí

${ displaystyle p_ {k} longrightarrow a_ {1} ^ {k} + a_ {2} ^ {k} + a_ {3} ^ {k} + cdots}$

v rozkladu ${ displaystyle f}$ jako polynom v p_kje

Příklady

Li ${ displaystyle X}$ označuje formální částku ${ displaystyle X = x_ {1} + x_ {2} + cdots}$, pak ${ displaystyle f [X] = f (x_ {1}, x_ {2}, ldots)}$.

Dá se psát ${ displaystyle 1 / (1-t)}$ označit formální částku ${ displaystyle 1 + t + t ^ {2} + t ^ {3} + cdots}$, a tak ta pletetystická substituce ${ displaystyle f [1 / (1-t)]}$ je jednoduše výsledkem nastavení ${ displaystyle x_ {i} = t ^ {i-1}}$ pro každé i. To znamená,

${ displaystyle f left [{ frac {1} {1-t}} right] = f (1, t, t ^ {2}, t ^ {3}, ldots)}$.

Plethystickou substituci lze také použít ke změně počtu proměnných: pokud ${ displaystyle X = x_ {1} + x_ {2} + cdots, x_ {n}}$, pak ${ displaystyle f [X] = f (x_ {1}, ldots, x_ {n})}$ je odpovídající symetrická funkce v kruhu ${ displaystyle Lambda _ {R} (x_ {1}, ldots, x_ {n})}$ symetrických funkcí v n proměnné.

Níže je uvedeno několik dalších běžných substitucí. Ve všech následujících příkladech ${ displaystyle X = x_ {1} + x_ {2} + cdots}$ a ${ displaystyle Y = y_ {1} + y_ {2} + cdots}$ jsou formální částky.

• Li ${ displaystyle f}$ je homogenní symetrická funkce stupně ${ displaystyle d}$, pak

${ displaystyle f [tX] = t ^ {d} f (x_ {1}, x_ {2}, ldots)}$

• Li ${ displaystyle f}$ je homogenní symetrická funkce stupně ${ displaystyle d}$, pak

${ displaystyle f [-X] = (- 1) ^ {d} omega f (x_ {1}, x_ {2}, ldots)}$, kde ${ displaystyle omega}$ je známá involuce na symetrické funkce, která posílá a Schurova funkce ${ displaystyle s _ { lambda}}$ konjugované Schurově funkci ${ displaystyle s _ { lambda ^ { ast}}}$.

• Střídání ${ displaystyle S: f mapsto f [-X]}$ je protipólem pro Hopfova algebra struktura na Kruh symetrických funkcí.
• ${ displaystyle p_ {n} [X + Y] = p_ {n} [X] + p_ {n} [Y]}$
• Mapa ${ displaystyle Delta: f mapsto f [X + Y]}$ je koproduktem struktury Hopfovy algebry na kruhu symetrických funkcí.
• ${ displaystyle h_ {n} doleva [X (1-t) doprava]}$ je střídající se řada Frobenius pro vnější algebru určující reprezentace symetrické skupiny, kde ${ displaystyle h_ {n}}$ označuje úplnou homogenní symetrickou funkci stupně ${ displaystyle n}$.
• ${ displaystyle h_ {n} doleva [X / (1-t) doprava]}$ je Frobeniova řada pro symetrickou algebru určující reprezentace symetrické skupiny.

externí odkazy

• Kombinatorika, symetrické funkce a Hilbertova schémata (Haiman, 2002)

Reference

• M. Haiman, Combinatorics, Symetric Functions, and Hilbert Schemes, Současný vývoj v matematice 2002, Ne. 1 (2002), s. 39–111.