Pöschl – Tellerův potenciál - Pöschl–Teller potential

V matematické fyzice, a Pöschl – Tellerův potenciál, pojmenovaná podle fyziků Herty Pöschl^[1] (připočítán jako G. Pöschl) a Edward Teller, je speciální třída potenciálů, pro které je jednorozměrný Schrödingerova rovnice lze vyřešit z hlediska speciální funkce.

Definice

Ve své symetrické formě je výslovně dána^[2]

Symetrický Pöschl – Tellerův potenciál:

{ displaystyle - { frac { lambda ( lambda +1)} {2}} operatorname {sech} ^ {2} (x)}

. Zobrazuje vlastní hodnoty pro μ = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

{ displaystyle V (x) = - { frac { lambda ( lambda +1)} {2}} mathrm {sech} ^ {2} (x)}

a řešení Schrödingerovy rovnice nezávislé na čase

{ displaystyle - { frac {1} {2}} psi '(x) + V (x) psi (x) = E psi (x)}

s tímto potenciálem lze nalézt na základě substituce ${ displaystyle u = mathrm {tanh (x)}}$ , který přináší

{ displaystyle left [(1-u ^ {2}) psi '(u) right]' + lambda ( lambda +1) psi (u) + { frac {2E} {1-u ^ {2}}} psi (u) = 0}

.

Tedy řešení ${ displaystyle psi (u)}$ jsou jen Legendární funkce ${ displaystyle P _ { lambda} ^ { mu} ( tanh (x))}$ s ${ displaystyle E = { frac {- mu ^ {2}} {2}}}$ , a ${ displaystyle lambda = 1,2,3 cdots}$ , ${ displaystyle mu = 1,2, cdots, lambda -1, lambda}$ . Navíc lze explicitně vypočítat vlastní čísla a rozptyl dat.^[3] Ve zvláštním případě celého čísla ${ displaystyle lambda}$ , potenciál je bez odrazu a takové potenciály také vznikají jako řešení N-soliton v Korteweg-de Vriesova rovnice.^[4]