Optimální projekční rovnice - Optimal projection equations

v teorie řízení, optimální projekční rovnice ^[1]^[2]^[3] představovat nezbytné a dostatečné podmínky pro lokálně optimální řadič LQG se sníženým řádem.^[4]

The lineární kvadraticko-gaussovský (LQG) kontrolní problém je jedním z nejzásadnějších optimální ovládání problémy. Týká se to nejistoty lineární systémy vyrušen aditivní bílý gaussovský šum, neúplné informace o stavu (tj. ne všechny stavové proměnné jsou měřeny a jsou k dispozici pro zpětnou vazbu) také narušeny aditivním bílým Gaussovým šumem a kvadratickým náklady. Řešení je navíc jedinečné a představuje zákon lineární dynamické zpětné vazby, který lze snadno vypočítat a implementovat. Nakonec je řadič LQG také zásadní pro optimální řízení rušení nelineárních systémů.^[5]

Samotný řadič LQG je dynamický systém, jako je systém, který ovládá. Oba systémy mají stejný stavový rozměr. Implementace řadiče LQG proto může být problematická, pokud je rozměr stavu systému velký. The problém LQG se sníženou objednávkou (problém LQG s pevným řádem) to překonává tím, že a priori opraví počet stavů řadiče LQG. Tento problém je obtížnější vyřešit, protože již není oddělitelný. Také řešení již není jedinečné. Navzdory těmto skutečnostem jsou k dispozici numerické algoritmy ^[4]^[6]^[7]^[8] vyřešit související optimální projekční rovnice.

Formulace a řešení matematické úlohy

Kontinuální čas

Problém s řízením LQG sníženého řádu je téměř totožný s problémem konvenční problém s řízením LQG plné objednávky. Nechat ${ displaystyle { hat { mathbf {x}}} _ {r} (t)}$ představují stav řadiče LQG se sníženou objednávkou. Jediný rozdíl pak spočívá v dimenzi stavu ${ displaystyle n_ {r} = dim ({ hat { mathbf {x}}} _ {r} (t))}$ řadiče LQG je a priori opraven tak, aby byl menší než ${ displaystyle n = dim ({ mathbf {x}} (t))}$ , stavová dimenze řízeného systému.

Regulátor LQG sníženého řádu je reprezentován následujícími rovnicemi:

{ displaystyle { dot { hat { mathbf {x}}}} _ {r} (t) = A_ {r} (t) { hat { mathbf {x}}} _ {r} (t ) + B_ {r} (t) { mathbf {u}} (t) + K_ {r} (t) left ({ mathbf {y}} (t) -C_ {r} (t) { hat { mathbf {x}}} _ {r} (t) right), { hat { mathbf {x}}} _ {r} (0) = { mathbf {x}} _ {r} (0),}

{ displaystyle { mathbf {u}} (t) = - L_ {r} (t) { hat { mathbf {x}}} _ {r} (t).}

Tyto rovnice jsou záměrně uvedeny ve formátu, který se rovná formátu konvenční řadič LQG plné objednávky. U problému s řízením LQG se sníženým řádem je vhodné je přepsat jako

{ displaystyle { dot { hat { mathbf {x}}}} _ {r} (t) = F_ {r} (t) { hat { mathbf {x}}} _ {r} (t ) + K_ {r} (t) { mathbf {y}} (t), { hat { mathbf {x}}} _ {r} (0) = { mathbf {x}} _ {r} (0),}

{ displaystyle { mathbf {u}} (t) = - L_ {r} (t) { hat { mathbf {x}}} _ {r} (t),}

kde

{ displaystyle F_ {r} (t) = A_ {r} (t) -B_ {r} (t) L_ {r} (t) -K_ {r} (t) C_ {r} (t).}

Matice ${ displaystyle F_ {r} (t), K_ {r} (t), L_ {r} (t)}$ a ${ displaystyle { mathbf {x}} _ {r} (0)}$ řadiče LQG sníženého řádu jsou určeny tzv optimální projekční rovnice (OPE).^[3]

Čtvercová optimální projekční matice ${ displaystyle tau (t)}$ s rozměrem ${ displaystyle n}$ je ústředním bodem pro OPE. Hodnost této matice je téměř všude stejná ${ displaystyle n_ {r}.}$ Přidružená projekce je šikmá projekce: ${ displaystyle tau ^ {2} (t) = tau (t).}$ The OPE tvoří čtyři maticové diferenciální rovnice. První dvě rovnice uvedené níže jsou zevšeobecněním maticových Riccatiho diferenciálních rovnic spojených s konvenční řadič LQG plné objednávky. V těchto rovnicích ${ displaystyle tau _ { perp} (t)}$ označuje ${ displaystyle I_ {n} - tau (t)}$ kde ${ displaystyle I_ {n}}$ je matice identity dimenze ${ displaystyle n}$ .

{ displaystyle { begin {aligned} { dot {P}} (t) = {} & A (t) P (t) + P (t) A '(t) -P (t) C' (t) W ^ {- 1} (t) C (t) P (t) + V (t) [6pt] & {} + tau _ { perp} (t) P (t) C '(t) W ^ {- 1} (t) C (t) P (t) tau '_ { perp} (t), [6pt] P (0) = {} & E left ({ mathbf {x }} (0) { mathbf {x}} '(0) vpravo), [6pt] & {} - { dot {S}} (t) = A' (t) S (t) + S (t) A (t) -S (t) B (t) R ^ {- 1} (t) B '(t) S (t) + Q (t) [6pt] & {} + tau '_ { perp} (t) S (t) B (t) R ^ {- 1} (t) B' (t) S (t) tau _ { perp} (t), end { zarovnaný}}}

{ displaystyle S (T) = F.}

Pokud se rozměr LQG regulátoru nezmenší, pak pokud ${ displaystyle n = n_ {r}}$ , pak ${ displaystyle tau (t) = I_ {n}, tau _ { perp} (t) = 0}$ a dvě výše uvedené rovnice se staly Riccatiho diferenciální rovnice nespojené matice spojené s konvenční řadič LQG plné objednávky. Li ${ displaystyle n_ {r}$ dvě rovnice jsou spojeny šikmou projekcí ${ displaystyle tau (t).}$ To odhaluje, proč problém LQG se sníženou objednávkou není oddělitelný. Šikmá projekce ${ displaystyle tau (t)}$ je určena ze dvou dalších maticových diferenciálních rovnic, které zahrnují hodnostní podmínky. Spolu s předchozími dvěma maticovými diferenciálními rovnicemi se jedná o OPE. Pro vyjádření dalších dvou maticových diferenciálních rovnic je vhodné zavést následující dvě matice:

{ displaystyle Psi _ {1} (t) = (A (t) -B (t) R ^ {- 1} (t) B '(t) S (t)) { hat {P}} ( t) + { hat {P}} (t) (A (t) -B (t) R ^ {- 1} (t) B '(t) S (t))'}

{ displaystyle {} + P (t) C '(t) W ^ {- 1} (t) C (t) P (t),}

{ displaystyle Psi _ {2} (t) = (A (t) -P (t) C '(t) W ^ {- 1} (t) C (t))' { hat {S}} (t) + { hat {S}} (t) (A (t) -P (t) C '(t) W ^ {- 1} (t) C (t))}

{ displaystyle {} + S (t) B (t) R ^ {- 1} (t) B '(t) S (t).}

Pak dvě další maticové diferenciální rovnice, které doplňují OPE jsou následující:

{ displaystyle { dot { hat {P}}} (t) = 1/2 left ( tau (t) Psi _ {1} (t) + Psi _ {1} (t) tau '(t) right), { hat {P}} (0) = E ({ mathbf {x}} (0)) E ({ mathbf {x}} (0))', operatorname { hodnost} ({ hat {P}} (t)) = n_ {r}}

téměř všude,

{ displaystyle - { dot { hat {S}}} (t) = 1/2 left ( tau '(t) Psi _ {2} (t) + Psi _ {2} (t) tau (t) right), { hat {S}} (T) = 0, operatorname {rank} ({ hat {S}} (t)) = n_ {r}}

téměř všude,

s

{ displaystyle tau (t) = { hat {P}} (t) { hat {S}} (t) left ({ hat {P}} (t) { hat {S}} ( t) right) ^ {*}.}

Zde * označuje skupinu zobecněného inverzního nebo Drazin inverzní to je jedinečné a dané

{ displaystyle A ^ {*} = A (A ^ {3}) ^ {+} A.}

kde + označuje Moore – Penroseova pseudoinverze.

Matice ${ displaystyle P (t), S (t), { hat {P}} (t), { hat {S}} (t)}$ všichni musí být nezáporné symetrické. Pak představují řešení OPE , která určuje matice řadiče LQG sníženého řádu ${ displaystyle F_ {r} (t), K_ {r} (t), L_ {r} (t)}$ a ${ displaystyle { mathbf {x}} _ {r} (0)}$ :

{ Displaystyle F_ {r} (t) = H (t) doleva (A (t) -P (t) C '(t) W ^ {- 1} (t) C (t) -B (t) R ^ {- 1} (t) B '(t) S (t) vpravo) G (t) + { dot {H}} (t) G' (t),}

{ displaystyle K_ {r} (t) = H (t) P (t) C '(t) W ^ {- 1} (t),}

{ displaystyle L_ {r} (t) = R ^ {- 1} (t) B '(t) S (t) G' (t),}

{ displaystyle { mathbf {x}} _ {r} (0) = H (0) E ({ mathbf {x}} (0)).}

V rovnicích nad maticemi ${ displaystyle G (t), H (t)}$ jsou dvě matice s následujícími vlastnostmi:

{ displaystyle G '(t) H (t) = tau (t), G (t) H' (t) = I_ {n_ {r}}}

téměř všude.

Mohou být získány z projektivní faktorizace o ${ displaystyle { hat {P}} (t) { hat {S}} (t)}$ .^[4]

The OPE lze říci mnoha různými způsoby, které jsou všechny rovnocenné. K identifikaci ekvivalentních reprezentací jsou obzvláště užitečné následující identity:

{ displaystyle tau (t) { hat {P}} (t) = { hat {P}} (t) tau '(t) = { hat {P}} (t), tau' (t) { hat {S}} (t) = { hat {S}} (t) tau (t) = { hat {S}} (t)}

Pomocí těchto identit lze například přepsat první dvě optimální projekční rovnice následovně:

{ displaystyle { dot {P}} (t) = A (t) P (t) + P (t) A '(t) -P (t) C' (t) W ^ {- 1} (t ) C (t) P (t) + V (t) + tau _ { perp} (t) Psi _ {1} (t) tau '_ { perp} (t),})

{ displaystyle P (0) = E left ({ mathbf {x}} (0) { mathbf {x}} '(0) right),}

{ displaystyle - { dot {S}} (t) = A '(t) S (t) + S (t) A (t) -S (t) B (t) R ^ {- 1} (t ) B '(t) S (t) + Q (t) + tau' _ { perp} Psi _ {2} (t) tau _ { perp} (t),}

{ displaystyle S (T) = F.}

Tato reprezentace je jak relativně jednoduchá, tak vhodná pro numerické výpočty.

Pokud jsou všechny matice ve formulaci problému LQG se sníženým řádem časově invariantní a pokud je horizont ${ displaystyle T}$ inklinuje k nekonečnu, optimální LQG řadič se sníženým řádem se stává časově neměnným a stejně tak OPE.^[1] V takovém případě deriváty na levé straně OPE jsou nula.

Diskrétní čas

Podobně jako v případě spojitého času, v případě diskrétního času je rozdíl s konvenční problém LQG diskrétního plného řádu na plný úvazek je a-a priori pevná snížená objednávka ${ displaystyle n_ {r}$ dimenze stavu řadiče LQG. Stejně jako v nepřetržitém čase uveďte diskrétní OPE je vhodné zavést následující dvě matice:

{ displaystyle Psi _ {i} ^ {1} = left (A_ {i} -B_ {i} (B '_ {i} S_ {i + 1} B_ {i} + R_ {i}) ^ {-1} B '_ {i} S_ {i + 1} A_ {i}) right) { hat {P}} _ {i} left (A_ {i} -B_ {i} (B' _ {i} S_ {i + 1} B_ {i} + R_ {i}) ^ {- 1} B '_ {i} S_ {i + 1} A_ {i}) right)'}

{ displaystyle {} + A_ {i} P_ {i} C '_ {i} (C_ {i} P_ {i} C' _ {i} + W_ {i}) ^ {- 1} C_ {i} P_ {i} A '_ {i}}

{ displaystyle Psi _ {i + 1} ^ {2} = left (A_ {i} -A_ {i} P_ {i} C '_ {i} (C_ {i} P_ {i} C'_ {i} + W_ {i}) ^ {- 1} C_ {i} vpravo) '{ hat {S}} _ {i + 1} vlevo (A_ {i} -A_ {i} P_ {i } C '_ {i} (C_ {i} P_ {i} C' _ {i} + W_ {i}) ^ {- 1} C_ {i} vpravo)}

{ displaystyle {} + A '_ {i} S_ {i + 1} B_ {i} (B' _ {i} S_ {i + 1} B_ {i} + R_ {i}) ^ {- 1} B '_ {i} S_ {i + 1} A_ {i}}

Pak diskrétní OPE je

{ displaystyle P_ {i + 1} = A_ {i} left (P_ {i} -P_ {i} C '_ {i} left (C_ {i} P_ {i} C' _ {i} + W_ {i} right) ^ {- 1} C_ {i} P_ {i} right) A '_ {i} + V_ {i} + tau _ { perp i + 1} Psi _ {i } ^ {1} tau '_ { perp i + 1}, P_ {0} = E left ({ mathbf {x}} _ {0} { mathbf {x'}} _ {0} že jo)}

.

{ displaystyle S_ {i} = A '_ {i} vlevo (S_ {i + 1} -S_ {i + 1} B_ {i} vlevo (B' _ {i} S_ {i + 1} B_ {i} + R_ {i} right) ^ {- 1} B '_ {i} S_ {i + 1} right) A_ {i} + Q_ {i} + tau' _ { perp i} Psi _ {i + 1} ^ {2} tau _ { perp i}, S_ {N} = F}

.

{ displaystyle { hat {P}} _ {i + 1} = 1/2 ( tau _ {i + 1} Psi _ {i} ^ {1} + Psi _ {i} ^ {1} tau '_ {i + 1}), { hat {P}} _ {0} = E ({ mathbf {x}} (0)) E ({ mathbf {x}} (0))' , operatorname {rank} ({ hat {P}} _ {i}) = n_ {r}}

téměř všude,

{ displaystyle { hat {S}} _ {i} = 1/2 ( tau '_ {i} Psi _ {i + 1} ^ {2} + Psi _ {i + 1} ^ {2 } tau _ {i}), { hat {S}} _ {N} = 0, operatorname {rank} ({ hat {S}} _ {i}) = n_ {r}}

téměř všude.

Matice šikmé projekce je dána vztahem

{ displaystyle tau _ {i} = { hat {P}} _ {i} { hat {S}} _ {i} left ({ hat {P}} _ {i} { hat { S}} _ {i} right) ^ {*}.}

The nezáporné symetrické matice ${ displaystyle P_ {i}, S_ {i}, { hat {P}} _ {i}, { hat {S}} _ {i}}$ které řeší diskrétní OPE určit matice LQG řadiče se sníženým řádem ${ displaystyle F_ {i} ^ {r}, K_ {i} ^ {r}, L_ {i} ^ {r}}$ a ${ displaystyle { mathbf {x}} _ {0} ^ {r}}$ :

{ displaystyle F_ {i} ^ {r} = H_ {i + 1} left (A_ {i} -P_ {i} C '_ {i} left (C_ {i} P_ {i} C'_ {i} + W_ {i} vpravo) ^ {- 1} C_ {i} -B_ {i} vlevo (B '_ {i} S_ {i + 1} B_ {i} + R_ {i} vpravo) ^ {- 1} B '_ {i} S_ {i + 1} vpravo) G' _ {i},}

{ displaystyle K_ {i} ^ {r} = H_ {i + 1} P_ {i} C '_ {i} vlevo (C_ {i} P_ {i} C' _ {i} + W_ {i} right) ^ {- 1},}

{ displaystyle L_ {i} ^ {r} = left (B '_ {i} S_ {i + 1} B_ {i} + R_ {i} right) ^ {- 1} B' _ {i} S_ {i + 1} G '_ {i},}

{ displaystyle { mathbf {x}} _ {0} ^ {r} = H_ {0} E ({ mathbf {x}} _ {0}).}

V rovnicích nad maticemi ${ displaystyle G_ {i}, H_ {i}}$ jsou dvě matice s následujícími vlastnostmi:

{ displaystyle G '_ {i} H_ {i} = tau _ {i}, G_ {i} H' _ {i} = I_ {n_ {r}}}

téměř všude.

Mohou být získány z projektivní faktorizace o ${ displaystyle { hat {P}} _ {i} { hat {S}} _ {i}}$ .^[4] Identifikovat ekvivalentní reprezentace diskrétní OPE obzvláště užitečné jsou následující identity:

{ displaystyle tau _ {i} { hat {P}} _ {i} = { hat {P}} _ {i} tau '_ {i} = { hat {P}} _ {i }, tau '_ {i} { hat {S}} _ {i} = { hat {S}} _ {i} tau _ {i} = { hat {S}} _ {i} }

Stejně jako v případě spojitého času, pokud jsou všechny matice ve formulaci problému časově neměnné a pokud je horizont ${ displaystyle N}$ má sklon k nekonečnu, regulátor LQG sníženého řádu se stává časově neměnným. Potom OPE v diskrétním čase konverguje k ustálenému řešení, které určuje časově invariantní LQG řadič se sníženým řádem.^[2]

The diskrétní OPE platí také pro systémy diskrétního času s variabilní stav, vstupní a výstupní rozměry (systémy diskrétního času s časově proměnnými rozměry).^[6] Takové systémy vznikají v případě návrhu digitálního ovladače, pokud vzorkování probíhá asynchronně.

Reference

^ ^A ^b Hyland DC; Bernstein D.S. (1984). Msgstr "Optimální projekční rovnice pro dynamickou kompenzaci pevného řádu". Transakce IEEE na automatickém ovládání. AC-29 (11): 1034–1037. doi:10.1109 / TAC.1984.1103418. hdl:2027.42/57875.
^ ^A ^b Bernstein D.S .; Davis L.D .; Hyland D.C. (1986). „Optimální projekční rovnice pro odhad a řízení diskrétního modelování v diskrétním čase sníženého řádu“ (PDF). Journal of Guidance Control and Dynamics. 9 (3): 288–293. Bibcode:1986JGCD .... 9..288B. doi:10.2514/3.20105. hdl:2027.42/57880.
^ ^A ^b Haddad W.M .; Tadmor G. (1993). "Regulátory LQG se sníženou objednávkou pro lineární zařízení s různým časem". Systémy a kontrolní dopisy. 20 (2): 87–97. doi:10.1016/0167-6911(93)90020-7.
^ ^A ^b ^C ^d Van Willigenburg L.G .; De Koning W.L. (2000). "Numerické algoritmy a problémy týkající se rovnic pro diskrétní optimální projekci". European Journal of Control. 6 (1): 93–100. doi:10.1016 / s0947-3580 (00) 70917-4. Související software ke stažení z Matlab Central.
^ Athans M. (1971). „Role a použití stochastického lineárně-kvadraticko-gaussovského problému v návrhu řídicího systému“. Transakce IEEE na automatickém ovládání. AC-16 (6): 529–552. doi:10.1109 / TAC.1971.1099818.
^ ^A ^b Van Willigenburg L.G .; De Koning W.L. (1999). "Optimální kompenzátory se sníženým řádem pro časově proměnné systémy diskrétního času s deterministickými a bílými parametry". Automatika. 35: 129–138. doi:10.1016 / S0005-1098 (98) 00138-1. Související software ke stažení z Matlab Central.
^ Zigic D .; Watson L.T .; Collins E.G .; Haddad W.M .; Ying S. (1996). "Homotopické metody pro řešení optimálních projekčních rovnic pro problém modelu H2 se sníženým řádem". International Journal of Control. 56 (1): 173–191. doi:10.1080/00207179208934308.
^ Collins Jr. E.G .; Haddad W.M .; Ying S. (1996). „Algoritmus homotopy pro dynamickou kompenzaci sníženého řádu s využitím Hyland – Bernsteinových optimálních projekčních rovnic“. Journal of Guidance Control & Dynamics. 19 (2): 407–417. doi:10.2514/3.21633.

[Bern1-1] A ^b Hyland DC; Bernstein D.S. (1984). Msgstr "Optimální projekční rovnice pro dynamickou kompenzaci pevného řádu". Transakce IEEE na automatickém ovládání. AC-29 (11): 1034–1037. doi:10.1109 / TAC.1984.1103418. hdl:2027.42/57875.

[Bern2-2] A ^b Bernstein D.S .; Davis L.D .; Hyland D.C. (1986). „Optimální projekční rovnice pro odhad a řízení diskrétního modelování v diskrétním čase sníženého řádu“ (PDF). Journal of Guidance Control and Dynamics. 9 (3): 288–293. Bibcode:1986JGCD .... 9..288B. doi:10.2514/3.20105. hdl:2027.42/57880.

[Haddad1-3] A ^b Haddad W.M .; Tadmor G. (1993). "Regulátory LQG se sníženou objednávkou pro lineární zařízení s různým časem". Systémy a kontrolní dopisy. 20 (2): 87–97. doi:10.1016/0167-6911(93)90020-7.

[Wil1-4] A ^b ^C ^d Van Willigenburg L.G .; De Koning W.L. (2000). "Numerické algoritmy a problémy týkající se rovnic pro diskrétní optimální projekci". European Journal of Control. 6 (1): 93–100. doi:10.1016 / s0947-3580 (00) 70917-4. Související software ke stažení z Matlab Central.

[Athans-5] Athans M. (1971). „Role a použití stochastického lineárně-kvadraticko-gaussovského problému v návrhu řídicího systému“. Transakce IEEE na automatickém ovládání. AC-16 (6): 529–552. doi:10.1109 / TAC.1971.1099818.

[Wil2-6] A ^b Van Willigenburg L.G .; De Koning W.L. (1999). "Optimální kompenzátory se sníženým řádem pro časově proměnné systémy diskrétního času s deterministickými a bílými parametry". Automatika. 35: 129–138. doi:10.1016 / S0005-1098 (98) 00138-1. Související software ke stažení z Matlab Central.

[Bern3-7] Zigic D .; Watson L.T .; Collins E.G .; Haddad W.M .; Ying S. (1996). "Homotopické metody pro řešení optimálních projekčních rovnic pro problém modelu H2 se sníženým řádem". International Journal of Control. 56 (1): 173–191. doi:10.1080/00207179208934308.

[Had1-8] Collins Jr. E.G .; Haddad W.M .; Ying S. (1996). „Algoritmus homotopy pro dynamickou kompenzaci sníženého řádu s využitím Hyland – Bernsteinových optimálních projekčních rovnic“. Journal of Guidance Control & Dynamics. 19 (2): 407–417. doi:10.2514/3.21633.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]