Provozovatel ideální - Operator ideal - Wikipedia

v funkční analýza, pobočka matematika, an operátor ideální je zvláštní druh třída z spojité lineární operátory mezi Banachovy prostory. Pokud operátor ${ displaystyle T}$ patří k ideálu operátora ${ displaystyle { mathcal {J}}}$ , pak pro všechny operátory ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$ které lze skládat s ${ displaystyle T}$ tak jako ${ displaystyle BTA}$ , pak ${ displaystyle BTA}$ je třída ${ displaystyle { mathcal {J}}}$ také. Navíc, aby pro ${ displaystyle { mathcal {J}}}$ aby byl ideálním operátorem, musí obsahovat třídu všech Banachových prostorových operátorů s konečnou hodností.

Formální definice

Nechat ${ displaystyle { mathcal {L}}}$ označují třídu spojitých lineárních operátorů působících mezi libovolnými Banachovými prostory. Pro jakoukoli podtřídu ${ displaystyle { mathcal {J}}}$ z ${ displaystyle { mathcal {L}}}$ a jakékoli dva Banachovy prostory ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ přes stejné pole ${ displaystyle mathbb {K} in { mathbb {R}, mathbb {C} }}$ , označují ${ displaystyle { mathcal {J}} (X, Y)}$ množina spojitých lineárních operátorů formuláře ${ displaystyle T: X až Y}$ takhle ${ displaystyle T v { mathcal {J}}}$ . V tomto případě to říkáme ${ displaystyle { mathcal {J}} (X, Y)}$ je součástka z ${ displaystyle { mathcal {J}}}$ . Ideálním operátorem je podtřída ${ displaystyle { mathcal {J}}}$ z ${ displaystyle { mathcal {L}}}$ , obsahující každého operátora identity působícího na 1-rozměrném Banachově prostoru, tak, že pro jakékoli dva Banachovy prostory ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ přes stejné pole ${ displaystyle mathbb {K}}$ , následující dvě podmínky pro ${ displaystyle { mathcal {J}} (X, Y)}$ jsou spokojeni:

(1) Pokud

{ displaystyle S, T v { mathcal {J}} (X, Y)}

pak

{ displaystyle S + T v { mathcal {J}} (X, Y)}

; a

(2) pokud

{ displaystyle W}

a

{ displaystyle Z}

jsou Banachovy prostory

{ displaystyle mathbb {K}}

s

{ displaystyle A in { mathcal {L}} (W, X)}

a

{ displaystyle B v { mathcal {L}} (Y, Z)}

, a pokud

{ displaystyle T v { mathcal {J}} (X, Y)}

, pak

{ displaystyle BTA in { mathcal {J}} (W, Z)}

.

Vlastnosti a příklady

Ideály provozovatelů se těší z následujících pěkných vlastností.

Každá součást ${ displaystyle { mathcal {J}} (X, Y)}$ operátorského ideálu tvoří lineární podprostor o ${ displaystyle { mathcal {L}} (X, Y)}$ , ačkoli to obecně nemusí být uzavřeno normou.
Každý ideální operátor obsahuje všechny konečné operátory. Zejména operátoři konečné pozice tvoří nejmenší ideální operátor.
Pro každého operátora ideální ${ displaystyle { mathcal {J}}}$ , každá součást formuláře ${ displaystyle { mathcal {J}} (X): = { mathcal {J}} (X, X)}$ tvoří ideál v algebraickém smyslu.

Kromě toho některé velmi známé třídy jsou normálně uzavřené ideály operátorů, tj. Ideály operátorů, jejichž komponenty jsou vždy normálně uzavřené. Patří mezi ně mimo jiné následující.

Reference

Pietsch, Albrecht: Ideály operátora, Svazek 16 Mathematische Monographien, Deutscher Verlag d. Wiss., VEB, 1978.